Drehmatrix in Gleichung A*x=B < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:57 Do 10.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo zusammen,
nachdem ich mit der Prüfungsvorbereitung für Analysis dreiviertel durchbin *freu* häng ich nun bei der Linearen Algebra. Konkret folgende Aufgabe
Lösen Sie
[mm] D^2_\phi*X=B
[/mm]
B ist gegeben mit [mm] \pmat{ 1 & \wurzel{2} & 2 & 0 \\ 2 & \wurzel{8} & 4 & 0 }
[/mm]
Und [mm] D_\phi [/mm] mit [mm] \pmat{ \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi }
[/mm]
[mm] D^2_\phi [/mm] dürfte dann ja [mm] \pmat{ \cos 2\phi & -\sin 2\phi \\ \sin 2\phi & \cos 2\phi } [/mm] sein.
Vom Format her ist es auch OK, nun aber meine eigentliche Frage - darf/kann ich hier jetzt ganz normal den GJA-Typ 3 anwenden und das Ergebnis am ES ablesen?
Dann wäre das AS ja
I [mm] \cos2\phi -\sin2\phi [/mm] | 1 [mm] \wurzel{2} [/mm] 2 0
II [mm] \sin2\phi cos2\phi [/mm] | 2 [mm] \wurzel{8} [/mm] 4 0
Aber das kommt mir irgendwie so spanisch vor, ich müsste ja nun [mm] -\sin2\phi [/mm] als Pivot-Element nehmen und hätte als NS(0)
mit[mm] II = -\sin2\phi * II - \cos2\phi * I [/mm]
I [mm] \cos2\phi -\sin2\phi [/mm] | 1 [mm] \wurzel{2} [/mm] 2 0
II ...
und bevor ich da jetzt weiterrechne, möchte ich erstmal wissen, ob das überhaupt der richtige Ansatz ist... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Hätte da vielleicht auch jemand das Endergebnis von - zur Kontrolle?
Oder (falls es hier zufällig jemand weiß) gibt es Möglichkeiten, das in einem CAS-System (erstmal egal welchem) oder mit dem TI Voyage 200 zu rechnen?
Die Drehmatrix haben wir in ner seminaristischen Vorlesung behandelt, in der mein lieber Prof mal wieder keine Lust hatte mit uns zu sprechen, d.h. Aufgabe anschreiben, ohne jegliche Erklärung (war aber keine in der Form bei, die ist aus einer älteren Klausur von ihm), ne halbe Stunde warten und dann das Endergebnis an die Tafel pappen und bei der Frage, wie er dadrauf kommt, antworten "Ich habe gerechnet"....... Er hat noch nichtmals erwähnt, dass das Ding Dreh/Rotationsmatrix heißt...
Der hat öfters solche Phasen - könnte also sein, dass ich euch in den nächsten Wochen noch mit ein paar Fragen mehr "belager" 
Danke schonmal!!!
Gruß
Sanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Do 10.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sanne!
> Lösen Sie
>
> [mm]D^2_\phi*X=B
[/mm]
>
> B ist gegeben mit [mm]\pmat{ 1 & \wurzel{2} & 2 & 0 \\ 2 & \wurzel{8} & 4 & 0 }
[/mm]
>
> Und [mm]D_\phi[/mm] mit [mm]\pmat{ \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi }
[/mm]
>
>
> [mm]D^2_\phi[/mm] dürfte dann ja [mm]\pmat{ \cos 2\phi & -\sin 2\phi \\ \sin 2\phi & \cos 2\phi }[/mm]
> sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Anschaulich klar: Wenn ich zweimal hintereinander um [mm] $\phi$ [/mm] gedreht habe, dann habe ich einmal um [mm] $2\phi$ [/mm] gedreht.
Kannst du dir genauso anschaulich klar machen, wass [mm] $(D^2_\phi)^{-1}$ [/mm] ist und diese Information vielleicht sogar verwerten?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Do 10.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo Julius,
und danke schonmal!
[mm] (D_\phi)^{-1} [/mm] würde ich mit
[mm] \pmat{ \cos(-\phi) & -\sin(-\phi) \\ \sin(-\phi) & \cos(-\phi) }
[/mm]
bestimmen.
[mm] (D^2_\phi)^{-1} [/mm] wäre dann
[mm] \pmat{ \cos(-2\phi) & -\sin(-2\phi) \\ \sin(-2\phi) & \cos(-2\phi) } [/mm] ?
Hm, wenn eine Matrix quadratisch invertierbar ist, dann ist [mm]A*X=B [/mm] eindeutig lösbar.
Aaaaah, ich glaube, es macht gerade klick, [mm] X=A^{-1}*B[/mm] -wolltest du darauf hinaus? Himmel, danke, an die Möglichkeit mit der Inverse hab ich gar nicht gedacht.
Also hier [mm] (D^2_\phi)^{-1}*\pmat{ 1 & \wurzel{2} & 2 & 0 \\ 2 & \wurzel{8} & 4 & 0 }=X
[/mm]
Mit dem Falk-Schema bekomme ich
[mm] X=\pmat{ \cos(-2\phi)-2*\sin(-2\phi) & \wurzel{2}*\cos(-2\phi)-\wurzel{8}*\sin(-2\phi) & 2\cos(-2\phi)-4*\sin(-2\phi) & 0 \\ \sin(-2\phi)+2*\cos(-2\phi) & \wurzel{2}*\sin(-2\phi)+\wurzel{8}*\cos(-2\phi) & 2*\sin(-2\phi) + 4*\cos(-2\phi) & 0 }
[/mm]
(wenn die Inverse richtig ist...).
Stimmt das so oder hab ich jetzt totalen Bockmist gebaut?
Lieben Gruß
Sanne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 10.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Sanne
soweit ich das beurteilen kann, stimmt das. Ich würde allerdings noch einige Minus-Zeichen eliminieren.
Es gilt ja:
[mm] $\cos(-\alpha)=cos(\alpha)$
[/mm]
und
[mm] $\sin(-\alpha)=-sin(\alpha)$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Do 10.02.2005 | | Autor: | Sanne |
OK, dankeschön euch beiden 
Lieben Gruß
Sanne
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