Drehm. Leiterschleife, B-Feld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Leiterschleife aus geraden Drähten im rechten Winkel zueinander befindet sich in einem homogenen Magnetfeld B. Der Winkel der Normalen auf der Schleifenebene zum Feld ist [mm] $\alpha$. [/mm] Finden Sie eine Formel für das Drehmoment auf diese Leiterschleife, wenn durch diese ein Strom I fließt.
Zeigen Sie, dass sich die Größe [mm] $\vec \mu [/mm] = I [mm] \vec [/mm] A$ wie ein Dipol im B-Feld verhält, d.h. das resultierende Drehmoment lässt sich schreiben als [mm] $\vec [/mm] M = [mm] \vec \mu \times \vec [/mm] B$. |
Hallo!
Ich habe mir zu dieser Aufgabe schon einige Gedanken gemacht. Nach stundenlangem Rechnen und Nachschlagen der Rechenregeln für das Vektorprodukt bin ich auf folgende Lösung der Aufgabe gekommen. Da ich bisher noch nie wirklich mit dem Vektorprodukt gerechnet habe, bin ich mir bei der Herleitung meiner Lösung ziemlich unsicher (und bin schon ein paar Mal auf die Schnauze auf dem Weg zu dieser Lösung gefallen, da z.B. das Kommutativgesetz für das Vektorprodukt nicht gilt ...). Es wäre deshalb toll, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde, meine Lösung durchzuschauen und dazu seinen Senf abgeben würde und auf evtl. Fehler hinweisen würde!
Ich habe zuerst mein Koordinatensystem folgendermaßen gewählt:
Der Schwerpunkt der Leiterschleife, also der Schnittpunkt der Diagonalen, liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Zusätzlich habe ich die Annahme getroffen, dass die Leiterschleife eben an diesem Schnittpunkt an einer Schnur aufgehängt ist. Die Leiterschleife liegt in der xz-Ebene (vergl. Skizze), die Normale zeigt also in Richtung der y-Achse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mithilfe der Lorentz-Kraft kann man die Kraft [mm] $d\vec [/mm] F$ auf ein Leiterstück der Länge [mm] $d\vec [/mm] L$ herleiten:
[mm] $$d\vec [/mm] F = dq\ [mm] \vec [/mm] v [mm] \times \vec [/mm] B = dq\ [mm] \frac{d \vec L}{dt} \times [/mm] B = I\ [mm] \vec{dL} \times \vec [/mm] B$$
Für ein gerades Leiterstück gilt also
[mm] $$\vec [/mm] F = I [mm] \vec [/mm] L [mm] \times \vec [/mm] B$$
Damit erhalte ich für die beiden Leiterstücke in Richtung der x-Achse:
[mm] $$\vec F_{a,1} [/mm] = I [mm] \vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B$$
[mm] $$\vec F_{a,2} [/mm] = I [mm] (-\vec [/mm] a) [mm] \times \vec [/mm] B$$
Da für das Drehmoment nur die senkrechten Komponenten entscheidend sind, folgt
[mm] $$\vec M_{a,1} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \vec [/mm] b [mm] \times [/mm] (I [mm] \vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B)$$
[mm] $$\vec M_{a,2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \vec [/mm] b [mm] \times [/mm] (-I [mm] \vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B) = [mm] -\frac{1}{2} \vec [/mm] b [mm] \times [/mm] (I [mm] \vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B)$$
Analog für [mm] $M_b$ [/mm] (dort haben Hebelarm und die Länge dasselbe Vorzeichen, siehe Skizze) ergibt das Gesamtdrehmoment:
[mm] $$\vec [/mm] M = [mm] \vec M_{b,1} [/mm] + [mm] \vec M_{b,2} [/mm] + [mm] \vec M_{a,1} [/mm] + [mm] \vec M_{a,2} [/mm] = [mm] \vec [/mm] a [mm] \times [/mm] (I [mm] \vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] B) - [mm] \vec [/mm] b [mm] \times [/mm] (I [mm] \vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B)$$
Durch Ausklammern von $I$ erhält man
[mm] $$\vec [/mm] M = I [mm] \cdot (\vec [/mm] a [mm] \times (\vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] B) - [mm] \vec [/mm] b [mm] \times (\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B))$$
Mithilfe der Jacobi-Identität folt aus [mm] $\vec [/mm] a [mm] \times (\vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] B) + [mm] \vec [/mm] b [mm] \times (\vec [/mm] B [mm] \times \vec [/mm] a) + [mm] \vec [/mm] B [mm] \times (\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b) = [mm] \vec [/mm] 0$
[mm] $$\vec [/mm] a [mm] \times (\vec [/mm] b [mm] \times \vec [/mm] B) - [mm] \vec [/mm] b [mm] \times (\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] B) = [mm] (\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b) [mm] \times \vec [/mm] B$$
Und damit gilt mit [mm] $\vec [/mm] A = [mm] (\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b)$
[mm] $$\vec [/mm] M = I\ [mm] \vec [/mm] A [mm] \times \vec [/mm] B$$
was zu zeigen war.
Schon im Vorraus vielen Dank für die viele Mühe, meine Lösung durchzusehen 
Gruß und schönes (verlängertes) Wochende!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo subclasser,
das ist doch eine schöne saubere Herleitung, die man durch das Bildchen auch gut verfolgen kann.
Das ist okay so und auch nachvollziehbar.
Viele rüße,
Infinit
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