Doppeltes Abzählen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Eine Gruppe von 42 Studenten lernt in Kleingruppen. Jede Gruppe besteht aus genau 3 Studenten. Jeder Student ist Mitglied von genau 6 Gruppen. Insgesamt gibt es 56 Gruppen. Ist dies möglich? Beweisen Sie Ihre Aussage. |
Meine Idee ist, diese Aufgabe mittels doppelten Abzählens zu lösen. Ich komme leider oft nicht auf die zündende Idee, was ich hier doppelt abzählen könnte.
Hat jemand einen Tipp?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 11.03.2015 | | Autor: | m8sar6l1Uu |
"Eine Gruppe von 42 Studenten lernt in Kleingruppen. Jede Gruppe besteht aus genau 3 Studenten."
Das würde bedeuten, dass 42 = 3 ist. Das ist offensichtlch widersprüchig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Rainingman |
Ich erkenne hier den Widerspruch nicht. Warum sollte hier 42=3 gelten müssen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 11.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ich erkenne hier den Widerspruch nicht. Warum sollte hier
> 42=3 gelten müssen?
Da muss man auch zweimal hinschauen. Und wenn man gerade ernsthaft an einer Lösung des Problems arbeitet vermutlich auch noch öfter.
Der Hinweis von m8sar6l1Uu ist jedenfalls sicher kein hilfreicher für dich.
Ich nehme an, dass es bei seiner Anmerkung darauf hinausläuft, dass im ersten zitierten Satz eine Gruppe von 42 Studenten definiert wird und danach behauptet wird, jede Gruppe bestünde aus drei Studenten. Diese letzte Aussage würde nach der strengen Auffassung von m8sar6l1Uu dann auch auf die ersterwähnte Gruppe anzuwenden sein, was letztlich zum monierten Widerspruch führt. ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 11.03.2015 | | Autor: | m8sar6l1Uu |
> Da muss man auch zweimal hinschauen. Und wenn man gerade
> ernsthaft an einer Lösung des Problems arbeitet vermutlich
> auch noch öfter.
> Der Hinweis von m8sar6l1Uu ist jedenfalls sicher kein
> hilfreicher für dich.
> Ich nehme an, dass es bei seiner Anmerkung darauf
> hinausläuft, dass im ersten zitierten Satz eine Gruppe von
> 42 Studenten definiert wird und danach behauptet wird, jede
> Gruppe bestünde aus drei Studenten. Diese letzte Aussage
> würde nach der strengen Auffassung von m8sar6l1Uu dann
> auch auf die ersterwähnte Gruppe anzuwenden sein, was
> letztlich zum monierten Widerspruch führt.
Genau.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Fulla |
> Eine Gruppe von 42 Studenten lernt in Kleingruppen. Jede
> Gruppe besteht aus genau 3 Studenten. Jeder Student ist
> Mitglied von genau 6 Gruppen. Insgesamt gibt es 56 Gruppen.
> Ist dies möglich? Beweisen Sie Ihre Aussage.
> Meine Idee ist, diese Aufgabe mittels doppelten Abzählens
> zu lösen. Ich komme leider oft nicht auf die zündende
> Idee, was ich hier doppelt abzählen könnte.
>
> Hat jemand einen Tipp?
Hallo Rainingman,
verteile die 42 Studenten mal in 14 Dreiergruppen. Jetzt ist jeder in genau einer Gruppe. Wie viele Gruppen muss es geben, damit jeder Student Mitglied von genau sechs Gruppen ist?
Oder andersrum: Es gibt 56 Gruppen à drei Studenten. Das sind 168 Personen, wobei jeder mehrfach gezählt wurde, weil die Studenten in Mehreren Gruppen ist. Wie oft wurde jeder Student gezählt? Passt das zur gleichzeitigen Mitgliedschaft in sechs Gruppen?
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Rainingman |
Ok. Ich erkenne 14 Dreiergruppen. Da jeder Student in genau 6 Gruppen eingeteilt ist, komme ich auf 84 Gruppen die wir benötigen. Ist das korrekt?
Andersrum verstehe ich nicht ganz. Jeder Student wurde sechsmal gezählt. Somit landen wir bei 28 Studenten (?), was nicht zur gegebenen Anzahl an Studenten passt (?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Fulla |
> Ok. Ich erkenne 14 Dreiergruppen. Da jeder Student in genau
> 6 Gruppen eingeteilt ist, komme ich auf 84 Gruppen die wir
> benötigen. Ist das korrekt?
Genau. Da es aber nur 56 Kleingruppen gibt, kann nicht jeder Student Mitglied in sechs Gruppen sein.
> Andersrum verstehe ich nicht ganz. Jeder Student wurde
> sechsmal gezählt. Somit landen wir bei 28 Studenten (?),
> was nicht zur gegebenen Anzahl an Studenten passt (?)
Nein, jeder Student wurde viermal gezählt: 56 Gruppen x 3 Studenten = 168 Studenten = 4 x 42 Studenten
Es sind ja nur 42 Leute - um auf 168 zu kommen, muss man jeden viermal zählen.
Das hieße jedoch, dass jeder in genau vier Gruppen ist - und nicht in sechs.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Rainingman |
Vielen Dank! Das hilft mir weiter.
|
|
|
| |
|
"Eine Gruppe von 42 Studenten lernt in Kleingruppen."
Diese Gruppe sei [mm] G_{1}. [/mm] Die Kardinalität von [mm] G_{1} [/mm] ist offensichtlich [mm] |G_{1}| [/mm] = 42.
"Jede Gruppe besteht aus genau 3 Studenten".
Das bedeutet, dass jede Gruppe eine Mächtigkeit von 3 haben muss.
Aber [mm] |G_{1}| [/mm] = 42 [mm] \not= [/mm] 3.
Genau dann wenn 42 = 3, dann erfüllt [mm] G_{1} [/mm] das Kriterium eine Gruppe zu sein. Da aber per Definition 42 [mm] \not= [/mm] 3, kann [mm] G_{1} [/mm] nicht eine Gruppe sein. Damit ist gezeigt, dass dies nicht möglich ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Mi 11.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> "Eine Gruppe von 42 Studenten lernt in Kleingruppen."
>
> Diese Gruppe sei [mm]G_{1}.[/mm] Die Kardinalität von [mm]G_{1}[/mm] ist
> offensichtlich [mm]|G_{1}|[/mm] = 42.
>
> "Jede Gruppe besteht aus genau 3 Studenten".
>
> Das bedeutet, dass jede Gruppe eine Mächtigkeit von 3
> haben muss.
> Aber [mm]|G_{1}|[/mm] = 42 [mm]\not=[/mm] 3.
>
> Genau dann wenn 42 = 3, dann erfüllt [mm]G_{1}[/mm] das Kriterium
> eine Gruppe zu sein. Da aber per Definition 42 [mm]\not=[/mm] 3,
> kann [mm]G_{1}[/mm] nicht eine Gruppe sein. Damit ist gezeigt, dass
> dies nicht möglich ist.
Du bist aber nicht ernsthaft der Meinung, dass diese deine Antwort für den Fragesteller hilfreich ist und eine brauchbare "Lösung" der zugrundeliegenden Aufgabe darstellt, oder?
Gruß Rmix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mi 11.03.2015 | | Autor: | m8sar6l1Uu |
> Du bist aber nicht ernsthaft der Meinung, dass diese deine
> Antwort für den Fragesteller hilfreich ist und eine
> brauchbare "Lösung" der zugrundeliegenden Aufgabe
> darstellt, oder?
>
> Gruß Rmix
Doch das bin ich. Warum sollte es keine sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Fulla |
> > Du bist aber nicht ernsthaft der Meinung, dass diese deine
> > Antwort für den Fragesteller hilfreich ist und eine
> > brauchbare "Lösung" der zugrundeliegenden Aufgabe
> > darstellt, oder?
> >
> > Gruß Rmix
>
> Doch das bin ich. Warum sollte es keine sein?
Weil es ziemlich offensichtlich ist, dass zwischen der "Gruppe" der 42 Studenten und den 56 "(Klein-)Gruppen" mit je drei Studenten ein Unterschied zu machen ist.
Mit der Spitzfindigkeit, die du hier an den Tag legst, kann man höchstens den Aufgabensteller bloßstellen (sofern das oben der originale Wortlaut der Aufgabe ist), aber jemandem der die Aufgabe bearbeiten möchte hilft das nicht weiter.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
> Weil es ziemlich offensichtlich ist, dass zwischen der
> "Gruppe" der 42 Studenten und den 56 "(Klein-)Gruppen" mit
> je drei Studenten ein Unterschied zu machen ist.
>
> Mit der Spitzfindigkeit, die du hier an den Tag legst, kann
> man höchstens den Aufgabensteller bloßstellen (sofern das
> oben der originale Wortlaut der Aufgabe ist), aber jemandem
> der die Aufgabe bearbeiten möchte hilft das nicht weiter.
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
Und welcher Unterschied sollte das sein? Da nichts weiter fest gelegt ist, kann man doch beliebig diesen Unterschied setzen?
Es scheint mir nur natürlich keinen Unterschied zu machen, wenn nach "Gruppen" gefragt werden und nichts anderem.
Wenn irgendwo fest gelegt wird, dass x [mm] \in \IC, [/mm] dann kann man das auch nicht als x [mm] \in \IR [/mm] interpretieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Fulla |
> > Weil es ziemlich offensichtlich ist, dass zwischen der
> > "Gruppe" der 42 Studenten und den 56 "(Klein-)Gruppen" mit
> > je drei Studenten ein Unterschied zu machen ist.
> >
> > Mit der Spitzfindigkeit, die du hier an den Tag legst, kann
> > man höchstens den Aufgabensteller bloßstellen (sofern das
> > oben der originale Wortlaut der Aufgabe ist), aber jemandem
> > der die Aufgabe bearbeiten möchte hilft das nicht weiter.
> >
> >
> > Lieben Gruß,
> > Fulla
>
> Und welcher Unterschied sollte das sein? Da nichts weiter
> fest gelegt ist, kann man doch beliebig diesen Unterschied
> setzen?
>
> Es scheint mir nur natürlich keinen Unterschied zu machen,
> wenn nach "Gruppen" gefragt werden und nichts anderem.
>
> Wenn irgendwo fest gelegt wird, dass x [mm]\in \IC,[/mm] dann kann
> man das auch nicht als x [mm]\in \IR[/mm] interpretieren.
In mathematischer Sprache oder Schreibweise ist man in der Regel auch präziser als beim gesprochenen bzw. geschriebenen Wort. In der Aufgabenstellung wird allerdings nicht definiert, was eine "Gruppe" ist.
Wie gesagt, die Formulierung ist nicht ganz optimal. Ersetze "Eine Gruppe von 42 Studenten..." etwa durch "Eine Menge von 42 Studenten..." oder auch nur durch "42 Studenten".
Wenn du so willst, gibt es bei dieser Aufgabe verschiedene Kategorien von Gruppen: die Grundmenge der Studenten (die 42er-Gruppe) und die Kleingruppen (mit je drei Studenten).
Klar, das steht so direkt nicht in der Aufgabenstellung, aber es ist sehr offensichtlich (und ich weiß, dass man mit dem Wort vorsichtig umgehen sollte), dass gemeint ist, was ich an mehreren Stellen in diesem Thread geschrieben habe.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:30 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fulla,
> > Weil es ziemlich offensichtlich ist, dass zwischen der
> > "Gruppe" der 42 Studenten und den 56 "(Klein-)Gruppen" mit
> > je drei Studenten ein Unterschied zu machen ist.
> >
> > Mit der Spitzfindigkeit, die du hier an den Tag legst, kann
> > man höchstens den Aufgabensteller bloßstellen (sofern das
> > oben der originale Wortlaut der Aufgabe ist), aber jemandem
> > der die Aufgabe bearbeiten möchte hilft das nicht weiter.
das sehe ich nicht als Bloßstellen. Und ich finde das, was m8sar6l1Uu hier
macht, auch absolut in Ordnung. Jedenfalls, solange wir das Problem als
*akademisches Problem* betrachten.
Er/sie (ich schreibe im Folgenden einfach nur noch er) ist auch nicht
spitzfindig, sondern nur sehr präzise, er liest erstmal, dass es eine Gruppe
gibt, und danach liest er, dass etwas für alle Gruppen gelten soll, und
schaut zurück und sagt: "Ach, dann muss das ja auch für diese Gruppe
gelten."
Das ist Präzisionsarbeit; natürlich ist man nicht darüber erfreut, dass damit
die eigentlich Aufgabe, die gelöst werden soll, damit zerstört wird. Aber
das ist nicht sein Problem.
Und ja: Man kann sagen, dass klar/offensichtlich ist, dass das hier anders
gemeint war. Es scheint uns jedenfalls offensichtlich zu sein. Vielleicht war
aber der Aufgabensteller doch genauso gewieft wie m8sar6l1Uu, und er
will eigentlich gar keine großen Überlegungen, sondern nur das hören,
was m8sar6l1Uu sagt. Weißt Du das? 
Übrigens kenne ich es tatsächlich so (sofern es nicht mal aus Unbedachtheit
passiert): "Meist" sagt man, wenn man etwas in der Mathematik nicht
ganz präzise hinschreiben will, auch etwas dazu, so dass jedenfalls dem
Leser klar wird, dass er im Weiteren so damit umgehen soll, wie er glaubt,
dass es gemeint war. Hier hätte der Aufgabensteller etwas dazuschreiben
sollen, dass er halt nicht die "Gesamtgruppe" meint. Aber das Ganze war
sicher eh einfach locker umgangssprachlich hingeschrieben, ohne nochmal
drüber nachzudenken, ob sich da sprachlich nicht doch irgendwo die Katze
in den Schwanz beißt.
Die ideale Lösung wäre meiner Meinung nach, dass ein(e) Student(in) hinschreibt,
dass das Problem, was m8sar6l1Uu erwähnt, vorhanden ist, er die Aufgabe
daher etwas anders auffasst und sie dann so löst, wie Du es vorgeschlagen
hast. Dann ist man definitiv auf der ganz sicheren Seite.
Gruß,
Marcel
> >
> > Lieben Gruß,
> > Fulla
>
> Und welcher Unterschied sollte das sein? Da nichts weiter
> fest gelegt ist, kann man doch beliebig diesen Unterschied
> setzen?
>
> Es scheint mir nur natürlich keinen Unterschied zu machen,
> wenn nach "Gruppen" gefragt werden und nichts anderem.
>
> Wenn irgendwo fest gelegt wird, dass x [mm]\in \IC,[/mm] dann kann
> man das auch nicht als x [mm]\in \IR[/mm] interpretieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mi 11.03.2015 | | Autor: | m8sar6l1Uu |
> Du bist aber nicht ernsthaft der Meinung, dass diese deine
> Antwort für den Fragesteller hilfreich ist und eine
> brauchbare "Lösung" der zugrundeliegenden Aufgabe
> darstellt, oder?
>
> Gruß Rmix
Ich hätte zugegebenerweise noch erwähnen sollen, dass ich als die Kardinalität einer Gruppe die Anzahl der Studenten in der Gruppen definiere.
Beziehungsweise, dass ich als eine Gruppe eine Menge von Stundenten, die Mitglied in dieser Gruppe sind, auffasse.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Do 12.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > "Eine Gruppe von 42 Studenten lernt in Kleingruppen."
> >
> > Diese Gruppe sei [mm]G_{1}.[/mm] Die Kardinalität von [mm]G_{1}[/mm] ist
> > offensichtlich [mm]|G_{1}|[/mm] = 42.
> >
> > "Jede Gruppe besteht aus genau 3 Studenten".
> >
> > Das bedeutet, dass jede Gruppe eine Mächtigkeit von 3
> > haben muss.
> > Aber [mm]|G_{1}|[/mm] = 42 [mm]\not=[/mm] 3.
> >
> > Genau dann wenn 42 = 3, dann erfüllt [mm]G_{1}[/mm] das Kriterium
> > eine Gruppe zu sein. Da aber per Definition 42 [mm]\not=[/mm] 3,
> > kann [mm]G_{1}[/mm] nicht eine Gruppe sein. Damit ist gezeigt, dass
> > dies nicht möglich ist.
>
> Du bist aber nicht ernsthaft der Meinung, dass diese deine
> Antwort für den Fragesteller hilfreich ist und eine
> brauchbare "Lösung" der zugrundeliegenden Aufgabe
> darstellt, oder?
eigentlich ist das so ziemlich die beste Lösung - denn sie zeigt auf, dass
der Aufgabensteller seine Aufgaben auch erst nochmal überdenken soll,
bevor er sie den Studenten stellt.
Ich verstehe Deinen Standpunkt ("Es ist doch klar, dass das so nicht gemeint
war und es ist klar, was eigentlich gemeint ist und gemacht werden soll...");
aber das ändert nichts an der Korrektheit dieser Lösung.
Vor nicht allzulanger Zeit hatte ich dahingehend auch mal eine Diskussion,
dass jemand glaubte, etwas über Monotonieverhalten einer Funktion
sagen zu können; wenn die Ableitung auf einem Intervall stets positiv ist,
dann ist die Funktion streng wachsend - bis hierhin ist alles okay - aber
dann wurde gesagt, dass dieses Verhalten auch gegeben bleibt, wenn
die Ableitung in isolierten Stellen des Intervalls =0 ist.
So: Was gemeint ist, ist vielen vielleicht klar (mir war es nicht direkt klar).
Was da aber steht, ist Nonsens: Und nein: Intervalle sind die üblichen
Teilmengen des [mm] $\IR$, [/mm] die jeder als Intervall kennt. Auch da gab es keine
Extradefinition.
Von daher: Der Aufgabensteller sollte die Aufgabe umformulieren, denn
er wird damit leben müssen, dass, wenn so eine Antwort wie hier kommt,
er sie als absolut korrekt zu bewerten hat!
Und das wurde ja sogar noch ganz detailliert ausgeführt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
