Doppelsumme berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Sa 22.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
Wie kann man diese Doppelsumme berechnen?
Irgendwie fehlt mir da eine Idee!
[mm]\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=k}^{n}\binom{j}{k}\frac{3^k}{2^j}[/mm]? |
Könnte mir jemand helfen?
Hat es vllt. etwas mit dem binomischen Lehrsatz zu tun?
Ich bin momentan ratlos.
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Hallo mikexx,
> Wie kann man diese Doppelsumme berechnen?
>
> Irgendwie fehlt mir da eine Idee!
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=k}^{n}\binom{j}{k}\frac{3^k}{2^j}[/mm]?
>
> Könnte mir jemand helfen?
>
> Hat es vllt. etwas mit dem binomischen Lehrsatz zu tun?
Danach sieht es nicht aus.
Ich habe vorläufig auch keine Idee. Was tut man, wenn man nicht weiter weiß? Man schafft sich Material heran, mit dem man kreativ werden kann.
Erst einmal schreibt man die Summe mal aus, für n=1,2,3 z.B.
Das hilft schonmal, die Struktur zu erkennen.
Dann siehst Du auch, ob es etwas zum Thema Doppelsummen gibt, das Dir bekannt vorkommt. Oder über Binomialkoeffizienten. Oder über geometrische Reihen?
Gibt es Definitionen, die hier nötig oder hilfreich sein könnten?
Wenn Du dann immer noch keine Idee hast, dann schreib hier im Forum wenigstens mal auf, was Du versucht hast.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 22.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Naja, ich hatte das schon mal hingeschrieben, zum Beispiel für n=1:
[mm]1+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=3[/mm]
Für n=2 habe ich:
[mm]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=7[/mm]
n=3:
Da hab ich 15 heraus.
Aber wo ist da jetzt eine Struktur?
Hm.
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Hallo nochmal,
nennen wir mal für einen bestimmten Wert von n die entsprechende Doppelsumme [mm] s_n.
[/mm]
Es ist
[mm] s_0=1
[/mm]
[mm] s_1=3
[/mm]
[mm] s_2=7
[/mm]
[mm] s_3=15
[/mm]
[mm] s_4=31
[/mm]
[mm] s_5=63
[/mm]
Da scheint es nahezuliegen, erst einmal [mm] s_{n+1}=2s_n+1 [/mm] anzunehmen.
Dann findet man als Nächstes [mm] s_n=2^{n+1}-1
[/mm]
Wenn Du das mal annimmst, könntest Du jetzt einen Induktionsbeweis versuchen.
Du könntest aber auch probieren, nochmal einen Blick auf die Summen zu werfen. Wenn Du sie nämlich komplett ausschreibst, kommen alle Binomialkoeffizienten bis zum Grad n vor, nur ein bisschen umsortiert.
So kommen für n=5 z.B. folgende Summanden vor:
[mm] \vektor{3\\0}\bruch{3^0}{2^3}+\vektor{3\\1}\bruch{3^1}{2^3}+\vektor{3\\2}\bruch{3^2}{2^3}+\vektor{3\\3}\bruch{3^3}{2^3}=\bruch{1}{8}(1+3)^3
[/mm]
Fällt Dir etwas auf?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 22.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Den Zusammenhang [mm]s_n=2^{n+1}-1[/mm] sehe ich.
Aber worauf Du am Ende hinauswolltest, sehe ich leider nicht. Ich sehe wohl, daß alle Binomialkoeffizienten vorkommen.
Aber was meinst Du weiterhin?
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Hallo,
> Den Zusammenhang [mm]s_n=2^{n+1}-1[/mm] sehe ich.
>
> Aber worauf Du am Ende hinauswolltest, sehe ich leider
> nicht. Ich sehe wohl, daß alle Binomialkoeffizienten
> vorkommen.
>
> Aber was meinst Du weiterhin?
Dass Du Deine Doppelsumme so umstellen kannst, dass sie wie folgt aussieht:
[mm] \cdots=\summe_{j=0}^{n} \summe_{k=0}^{j} \vektor{j\\k}\bruch{3^k}{2^j}=\summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{2^j} \summe_{k=0}^{j} \vektor{j\\k}3^k =\summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{2^j} 4^j =\cdots
[/mm]
So, jetzt müsstest Du die Aufgabe aber vollständig lösen können.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 22.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Da kommt dann [mm]2\cdot 2^n-1[/mm] heraus. Korrekt?
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Hallo,
> Da kommt dann [mm]2\cdot 2^n-1[/mm] heraus. Korrekt?
Ja. [mm] s_n=2^{n+1}-1
[/mm]
Die Frage ist ja nur, ob Du die Umstellung der Doppelsumme nachvollziehen und selbst begründen kannst.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 So 23.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich denke schon.
Ich habe mir mal für n=3 alles ausführlich aufgeschrieben und kann daran die Umstellung der Summen nachvollziehen.
Ob ich jedoch selbst darauf gekommen wäre, möchte ich schon bezweifeln.
Deswegen danke ich Dir!
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