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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Mi 23.04.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Drücke für n [mm] \in \IN [/mm] und k = 0,1,2,3 jeweils die Summe der n kleinsten natürlichen Zahlen, welche nach Division durch 4 den Rest k haben, durch das Summenzeichen aus.
Schreibe die Summe über diese vier Summen als Doppelsumme und finde deren Wert. |
Hallo,
ich habe keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen soll.
Habt ihr mir denn einen Tipp?
Ich kann vielleicht die Summe über vier natürliche Zahlen darstellen, aber sie sollen auch noch kleinstmöglich sein, und nach Teilung durch vier den Rest k haben...ich weiß nicht weiter ;)
Viele Grüße und danke schonmal im Voraus ;)
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Hallo MattiJo!
> Drücke für n [mm]\in \IN[/mm] und k = 0,1,2,3 jeweils die Summe der
> n kleinsten natürlichen Zahlen, welche nach Division durch
> 4 den Rest k haben, durch das Summenzeichen aus.
> Schreibe die Summe über diese vier Summen als Doppelsumme
> und finde deren Wert.
> Hallo,
>
> ich habe keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen
> soll.
> Habt ihr mir denn einen Tipp?
> Ich kann vielleicht die Summe über vier natürliche Zahlen
> darstellen, aber sie sollen auch noch kleinstmöglich sein,
> und nach Teilung durch vier den Rest k haben...ich weiß
> nicht weiter ;)
Hast du dir denn mal aufgeschrieben, welche Zahlen das wären? Also für k=0 wären das ja die Zahlen: 0 (falls die 0 bei euch zu den natürlichen zahlen gehört),4,8,12,16, usw. also 4*0, 4*1, 4*2, 4*3, usw.. Das kleinstmöglich kommt automatisch, wenn du die Summe von 0 bis n laufen lässt. Für die anderen k's geht es genauso. Hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mi 23.04.2008 | | Autor: | MattiJo |
okay, dankeschön für die schnelle antwort!
den ansatz hätte ich schon so gewählt, aber wie bringe ich den Rest k mit rein und wie setze ich die zweite Summe an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mattijo,
machen wir es erstmal konkret für $n=10$. Dann hieße die (erste Teil-)Aufgabe:
"Drücke für [mm] $\green{n=10}$ [/mm] und [mm] $\black{k = 0,1,2,3}$ [/mm] jeweils die Summe der [mm] $\black{10}$ [/mm] kleinsten natürlichen Zahlen, welche nach Division durch [mm] $\black{4}$ [/mm] den Rest [mm] $\black{k}$ [/mm] haben, durch das Summenzeichen aus."
Da Du noch nicht gesagt hast, ob bei Dir $0 [mm] \in \IN$, [/mm] gehe ich einfach mal davon aus, dass $0 [mm] \in \IN$ [/mm] (andernfalls musst Du die Summe für $k=0$ entsprechend korrigieren).
Für [mm] $\red{k=0}$ [/mm] (beachte, dass hier die $0$ der erste Summand ist):
[mm] $0+4+8+...+36=\sum_{r=0}^{\green{10}-1} 4r=\red{0}*\green{10}+4*\sum_{r=0}^{\green{10}-1} [/mm] r$
Für [mm] $\red{k=1}$:
[/mm]
[mm] $1+5+...+37=\sum_{r=0}^{\green{10}-1} (4r+1)=\left(\sum_{r=0}^{\green{10}-1} 4r\right)+\sum_{r=0}^{\green{10}-1}1=\red{1}*\green{10}+4*\sum_{r=0}^{\green{10}-1} [/mm] r$
Für [mm] $\red{k=2}$:
[/mm]
[mm] $2+6+...+38=\sum_{r=0}^{\green{10}-1} (4r+2)=\left(\sum_{r=0}^{\green{10}-1} 4r\right)+\sum_{r=0}^{\green{10}-1}2=\red{2}*\green{10}+4*\sum_{r=0}^{\green{10}-1} [/mm] r$
Für [mm] $\red{k=3}$:
[/mm]
[mm] $3+7+...+39=\sum_{r=0}^{\green{10}-1} (4r+3)=\left(\sum_{r=0}^{\green{10}-1} 4r\right)+\sum_{r=0}^{\green{10}-1}3=\red{3}*\green{10}+4*\sum_{r=0}^{\green{10}-1} [/mm] r$
Schau' Dir das mal an und überlege Dir, wie das ganze so für allgemeines [mm] $\green{n}$ [/mm] aussieht. Zudem solltest Du hinterher beachten:
[mm] $\sum_{r=0}^{\green{n}-1} r=\frac{(n-1)*((n-1)+1)}{2}=\frac{\green{n}*(\green{n}-1)}{2}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm]
Kommst Du nun klar? Auch mit dem Rest der Aufgabe?
Gruß,
Marcel
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