Doppelreihensatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:25 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | | Eine Schnecke ist sturzbetrunken in einen 4m tiefen Brunnen gefallen. Bei dem Versuch, wieder herauszuklettern, schafft sie am ersten Tag einen Meter. Den zweiten Tag teilt sie sich in zwei Etappen ein, schafft aber pro Etappe nur q Meter (0<q<1). Am dritten Tag schafft sie drei Etappen mit jeweils q² Metern, am vierten Tag vier Etappen mit q³ Metern usw. Wie groß muss q mindestens sein, damit die Schnecke in endlicher Zeit am Brunnenrand ankommt? |
Hallo!
Bräuchte mal etwas Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich habe den Doppelreihensatz noch nicht ganz verstanden. Man soll diesen hier anwenden, also bitte keine Lösungsansätze mit Cauchy-Produkt oder so. 
Die bis zum n-ten Tag zurückgelegte Strecke beträgt:
[mm] s_{n}= 1+(q+q)+(q²+q²+q²)+...+n*q^{n-1}= \summe_{k=0}^{n-1} (k+1)*q^{k}
[/mm]
[mm] s_{n} [/mm] muss [mm] \ge [/mm] 4 sein, damit die Schnecke den Brunnenrand erreicht.
Man könnte die Reihe noch irgendwie umschreiben, aber ich komme nicht dazu den Doppelreihensatz anzuwenden. Kann das jemand mal zeigen oder erklären wie man vorgeht?
Das wär super!
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> Die bis zum n-ten Tag zurückgelegte Strecke beträgt:
>
> [mm]s_{n}= 1+(q+q)+(q²+q²+q²)+...+n*q^{n-1}= \summe_{k=0}^{n-1} (k+1)*q^{k}[/mm]
Hallo,
es ist
> [mm][mm] s_{n}= 1+(q+q)+(q²+q²+q²)+...+n*q^{n-1}
[/mm]
[mm] =(1+q+q^2+...+q^{n-1}) [/mm] + [mm] (q+q^2+...+q^{n-1}) [/mm] + [mm] (q^2+q^^3+...+q^{n-1}) [/mm] + ... + [mm] (q^{n-2}+q^{n-1}) [/mm] + [mm] q^{n-1}
[/mm]
= ...
Die Klammern kannst Du jeweils als Summe schreiben, und es ist augenfällig, daß Du Summen summierst.
Vielleicht ist das gemeint. Dn Begriff "Doppelreihensatz" als solchen kenne ich nicht, aber eine Doppelreihe hast Du dann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Der Doppelreihensatz funktioniert folgendermaßen:
[mm] \summe_{(n,m)\in\INx\IN} a_{n,m} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{m=1}^{\infty} a_{n,m})
[/mm]
= [mm] \summe_{m=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty} a_{n,m}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{\nu+\mu=n}^{\infty} a_{\nu,\mu})
[/mm]
aber leider habe ich das noch nicht so ganz verstanden und weiß nicht wie ich diese Fomel benutzen soll.
Meine Reihe kann man ja auch so schreiben:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{j=0}^{k}q^{j}*q^{(n-1)-j})
[/mm]
aber damit habe ich noch lange nicht den Doppelreihensatz gezeigt?!
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> Meine Reihe kann man ja auch so schreiben:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{j=0}^{k}q^{j}*q^{(n-1)-j})[/mm]
Hallo,
nein, so kannst Du die nicht schreiben, das ist was völlig anderes:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{j=0}^{k}q^{j}*q^{(n-1)-j})
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{j=0}^{k}q^{(n-1)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n-1}[\underbrace{q^{(n-1)}+q^{(n-1)}+q^{(n-1)} +...+ q^{(n-1)}}_{n-mal}]
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n-1}nq^{(n-1)}
[/mm]
= [mm] n*nq^{(n-1)},
[/mm]
und das scheint mir doch etwas anderes zu sein als Deine Summe.
Widme Dich mal meiner Darstellung und schreibe zunächst die Klammern als Summen. Ich denke, daß Du auf diesem Weg weiterkommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Oh ja entschuldigung! Du hast Recht, aber es gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(\summe_{j=0}^{k} q^{j}*q^{k-j})
[/mm]
Hab da was verwechselt. Die Aufgabe soll man mit dem Doppelreihensatz lösen, deshalb weiß ich nicht, ob dein Ansatz weiterhilft, aber ich machs trotzdem mal:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} q^{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n-1} q^{k} +\summe_{k=2}^{n-1} q^{k} [/mm] + ... + [mm] \summe_{k=n-2}^{n-1} q^{k} [/mm] + [mm] q^{n-1}
[/mm]
Kann man das jetzt umschreiben in eine Doppelreihe? Wenn ja, keine Ahnung wie...
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Na, es bleibt doch eigentlich alles gleich, nur der Startwert der Laufvariablen verändert sich von 0 bis n-1.
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\summe_{j=k}^{n-1}q^j
[/mm]
Das ist noch nicht die Form Deiner Doppelreihenformel, aber doch schon ein ziemlicher Schritt dahin...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Kannst du mir dann vielleicht sagen wie die Form meiner Doppelreihe aussieht? Ich komme leider nicht drauf. Ich dachte, es wäre schon meine Doppelreihe, denn es sieht stark danach aus, aber naja...
Wie kann ich dann genau die Aufgabe lösen? Ich meine meine Reihe [mm] s_{n} [/mm] muss doch [mm] \ge [/mm] 4 sein. Macht man das mit dem Grenzwert oder funktioniert das wirklich alles über den Doppelreihensatz??
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Hallo,
Du hattest
>>> [mm] \summe^{n-1}_{k=\red{0}}q^{k} [/mm] + [mm] \summe^{n-1}_{k=\red{1}}q^{k} +\summe^{n-1}_{k=\red{2}} q^{k} [/mm] + ... + [mm] \summe^{n-1}_{k=\red{n-2}} q^{k} [/mm] + [mm] \summe^{n-1}_{k=\red{n-1}} q^{k} [/mm]
Jetzt schau doch mal, was sich von Summand zu Summand verändert. Es ist doch fast alles gleich! Also
[mm] ...=\summe_{i=...}^{...} \summe_{k=...}^{n-1} q^{k} [/mm] .
Dann weiter unter Zuhilfenahme der endlichen geometrischen Reihe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Okay dann versuch ichs mal:
[mm] 4<\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{k} q^{j}*q^{k-j}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}*\bruch{1}{1-q}\gdw(1-q)²<\bruch{1}{4} \gdw q>\bruch{1}{2}
[/mm]
Funktioniert das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Schau doch mal hier, ob Dir etwas bekannt vorkommt.
Im übrigen stimmt die Auflösung Deiner inneren Summe nicht. j durchläuft k+1 Werte (von 0 bis k), und jeder Wert ist [mm] q^k.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Di 18.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo reverend,
> Schau doch mal hier,
> ob Dir etwas bekannt vorkommt.
>
> Im übrigen stimmt die Auflösung Deiner inneren Summe nicht.
> j durchläuft k+1 Werte (von 0 bis k), und jeder Wert ist
> [mm]q^k.[/mm]
Laut ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt ist das so:
[mm]\left(\summe_{i=0}^{\infty}q^{i}\right)*\left(\summe_{j=0}^{\infty}q^{j}\right)[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty}q^{i}\left(\summe_{j=0}^{k}q^{k-j}\right)[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{k} q^{j}*q^{k-j})=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{k} q^{k}[/mm]
Daher stimmt das, was Shelli in diesem Artikel geschrieben hat.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Gut für Shelli, schlecht für mich.
Danke für den Hinweis, MathePower.
Ich war mit dem Cauchy-Produkt nicht mehr sicher, wohl aber, dass ich den Grenzwert anders bestimmen kann. Dabei ist mir ein Fehler unterlaufen, der so typisch ist, dass ich ihn Euch nicht vorenthalten möchte. Eine klassische Fehlabschätzung.
Ab hier habe ich wie folgt anders weitergerechnet:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{k} q^{j}*q^{k-j})=\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{k} q^{k})=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k}
[/mm]
Bis hier ist das ja auch ok.
Nun war in dem anderen, von mir verlinkten Artikel ja richtig angegeben [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k\cdot q^{k}=\bruch{q}{(q-1)^2}
[/mm]
Da genügt doch ein Blick. Wenn diese Summe schon [mm] \a{}q [/mm] im Zähler hat, kann die andere Summe, die ja den Faktor [mm] \a{}(k+1) [/mm] statt [mm] \a{}k [/mm] beinhaltet, ja nicht weniger im Zähler haben, also schon gar keine 1.
Dass q<1 ist, war da schon aus dem Blick geraten. Rechnen hätte geholfen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}kq^{k}+\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}=\bruch{q}{(q-1)^2}-\bruch{1}{(q-1)}*\bruch{(q-1)}{(q-1)}=\bruch{1}{(q-1)^2}
[/mm]
Dann hätte ich's auch gesehen.
Vielleicht sollte ich aufhören, hier irgend etwas nebenbei zu machen. Pardon.
Immerhin hat es zu Deiner Einlassung geführt, MathePower, und wir haben so außer dem Titel "Doppelreihensatz" jetzt auch den etablierten Namen wieder.
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Hallo Shelli,
> Okay dann versuch ichs mal:
>
>
> [mm]4<\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{k} q^{j}*q^{k-j})[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-q}*\bruch{1}{1-q}\gdw(1-q)²<\bruch{1}{4} \gdw q>\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Funktioniert das so?
>
>
Ja, das funktioniert so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Okay freut mich! Aber ist da jetzt auch der Doppelreihensatz drin? Ich habs mit dem Cauchy-Produkt gemacht, aber angegeben war in der Aufgabenstellung ja der Doppelreihensatz. Leider weiß ich aber immer noch nicht genau wie der geht.
Deshalb meine Frage: Steckt da der Doppelreihensatz am Anfang drin?
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Hallo Shelli,
> Okay freut mich! Aber ist da jetzt auch der
> Doppelreihensatz drin? Ich habs mit dem Cauchy-Produkt
> gemacht, aber angegeben war in der Aufgabenstellung ja der
> Doppelreihensatz. Leider weiß ich aber immer noch nicht
> genau wie der geht.
>
> Deshalb meine Frage: Steckt da der Doppelreihensatz am
> Anfang drin?
Ja.
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{k}\left(q^{j}*q^{k-j}\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{k}\left(q^{k}\right)=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\summe_{i+j=k}^{}q^{i+j}\right)[/mm]
[mm]=\summe_{i=0}^{\infty}\left(\summe_{j=0}^{\infty}q^{i+j}\right)=\summe_{j=0}^{\infty}\left(\summe_{i=0}^{\infty}q^{i+j}\right)=\summe_{i, \ j=0}^{\infty}q^{i+j}[/mm]
Diese Ergebnisse werden aös Doppelreihensatz bezeichnet.
Gruß
MathePower
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