Doppelintegral unitärer Raum < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm]V_n := \{p \in \IC \left[x \right[ : deg(p)\le ng\}[/mm] der Vektorraum aller komplexen
Polynome vom Grad [mm]\le n, n\in \IN[/mm]. Komplexe Zahlen z schreiben wir in der Form z = x + iy und
defi nieren für [mm]p,q \in V_n[/mm]:
[mm]\left\langle p,q \right\rangle:=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}p(z)\bar q(z)\, dxdy[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm](V_n;\left\langle , \right\rangle)[/mm] ein unitärer Vektorraum ist.
b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm](V_1;\left\langle , \right\rangle)[/mm].
(Erläuterung: Für eine Funktion [mm]f: \IC \rightarrow \IC, f(z) = f_1(z) + if_2(z)[/mm] und [mm]a, b, c, d[/mm] mit [mm]a\le b, c\le d[/mm] setzt man
[mm]\int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f(z)\, dxdy = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f_1(z)\, dxdy + i\int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f_2(z)\, dxdy[/mm]). |
Hallo!
Ich wollte gerade die ONB bestimmen und komme jetzt mit der Definition des Integrals nicht zurecht. Ich verstehe nicht wie man die Funktion zerlegen soll und warum nach der Zerlegung die Zahl selbst nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt ist. Wie ist das gemeint?
Ich hab es jetzt z.B. so gemacht, und weiß leider überhaupt nicht ob es stimmt:
[mm]\left\langle 1+i,1+i \right\rangle=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(1+i) \bar{(1+i)}\, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(1+i)(1-i)\, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}2\, dxdy = \int_{0}^{1} \left[ x^2+i2xy \right]_{0}^{1} \, dy = \int_{0}^{1} 1+i2y \, dy = \left[ y+iy^2 \right]_{0}^{1} = 1+i[/mm]
Wenn mir jemand anhand eines Beispiels zeigen könnte wie es geht wär ich sehr dankbar!
Ist es überhaupt richtig für Gram-Schmidt [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR[/mm]-Vektorraum zu betrachten, also mit Basis [mm](1+i, x+iy)[/mm]?
Liebe Grüße
couldbeworse
|
|
| |
|
Jetzt habe ich gerade gesehen, dass ich die Frage versehentlich in "Mathe Oberstufe" statt "Mathe Uni" gestellt habe, wie kann ich das korrigieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V_n := \{p \in \IC \left[x \right[ : deg(p)\le ng\}[/mm] der
> Vektorraum aller komplexen
> Polynome vom Grad [mm]\le n, n\in \IN[/mm]. Komplexe Zahlen z
> schreiben wir in der Form z = x + iy und
> defi nieren für [mm]p,q \in V_n[/mm]:
>
> [mm]\left\langle p,q \right\rangle:=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}p(z)\bar q(z)\, dxdy[/mm]
>
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm](V_n;\left\langle , \right\rangle)[/mm] ein
> unitärer Vektorraum ist.
> b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von
> [mm](V_1;\left\langle , \right\rangle)[/mm].
>
> (Erläuterung: Für eine Funktion [mm]f: \IC \rightarrow \IC, f(z) = f_1(z) + if_2(z)[/mm]
> und [mm]a, b, c, d[/mm] mit [mm]a\le b, c\le d[/mm] setzt man
> [mm]\int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f(z)\, dxdy = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f_1(z)\, dxdy + i\int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f_2(z)\, dxdy[/mm]).
>
> Hallo!
>
> Ich wollte gerade die ONB bestimmen und komme jetzt mit der
> Definition des Integrals nicht zurecht. Ich verstehe nicht
> wie man die Funktion zerlegen soll und warum nach der
> Zerlegung die Zahl selbst nicht in Real- und Imaginärteil
> zerlegt ist. Wie ist das gemeint?
1, [mm] \overline{q}(z):= \overline{q(z)}
[/mm]
2. Beispiel:
[mm] p(z)=z^2, q(z)=z^2
[/mm]
Jetzt rechne nach:
<p,q>= [mm] x^3+y^2x+i(-x^2y-y^3)
[/mm]
Jetzt Real - und Imaginärteil integrieren.
>
> Ich hab es jetzt z.B. so gemacht, und weiß leider
> überhaupt nicht ob es stimmt:
>
> [mm]\left\langle 1+i,1+i \right\rangle=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(1+i) \bar{(1+i)}\, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(1+i)(1-i)\, dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}2\, dxdy = \int_{0}^{1} \left[ x^2+i2xy \right]_{0}^{1} \, dy = \int_{0}^{1} 1+i2y \, dy = \left[ y+iy^2 \right]_{0}^{1} = 1+i[/mm]
>
> Wenn mir jemand anhand eines Beispiels zeigen könnte wie
> es geht wär ich sehr dankbar!
>
> Ist es überhaupt richtig für Gram-Schmidt [mm]\IC[/mm] als
> [mm]\IR[/mm]-Vektorraum zu betrachten
Nein
FREd
>, also mit Basis [mm](1+i, x+iy)[/mm]?
>
> Liebe Grüße
> couldbeworse
|
|
|
| |
|
Hallo FREd!
> 1, [mm]\overline{q}(z):= \overline{q(z)}[/mm]
>
> 2. Beispiel:
>
> [mm]p(z)=z^2, q(z)=z^2[/mm]
>
> Jetzt rechne nach:
>
> <p,q>= [mm]x^3+y^2x+i(-x^2y-y^3)[/mm]
>
> Jetzt Real - und Imaginärteil integrieren.
>
Ahh! Ok, danke jetzt macht es endlich Sinn.
> > Ist es überhaupt richtig für Gram-Schmidt [mm]\IC[/mm] als
> > [mm]\IR[/mm]-Vektorraum zu betrachten
>
> Nein
Aber Gram-Schmidt mit Standardbasis [mm](1,z)[/mm] paßt dann, oder?
Liebe Grüße
couldbeworse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
