Doppelintegral über Viertelkr. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 23.10.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Doppelintegral
$ [mm] \int \int_{B} xy^{3} [/mm] dx dy $, wobei B der Viertelkris ist.
[mm] r^{2}=x^{2}+y^{2} [/mm] |
Bekomme bei dem Ergebnis das x nicht weg.
Könt Ihr mal schauen, woran es liegt?
Hier mein Rechenweg:
Erstmal das Integral aufstellen:
$ [mm] \int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \int_{0}^{r} xy^{3} [/mm] dx dy $
Nach x integrieren:
$ [mm] \int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \frac{1}{2}r^{2} y^{3} [/mm] dy $
Umformen:
$ [mm] \frac{1}{2}r^{2} \int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} y^{3} [/mm] dy $
Nach y integrieren:
$ [mm] \frac{1}{2}r^{2} [/mm] ( [mm] \frac{1}{4}(\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{4} [/mm] ) $
= $ [mm] \frac{1}{8}r^{2} (r^{2}-x^{2})^{2} [/mm] ) $
An dieser Stelle sehe ich, dass ich das x im Endergebnis habe.
Eigentlich soll doch das Ergebnis von x nicht abhängen.
Wie bekomme ich das x weg?
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> Berechnen Sie das Doppelintegral
> [mm]\int \int_{B} xy^{3} dx dy [/mm], wobei B der Viertelkreis ist.
Welcher Viertelkreis ?
(vermutlich der im 1. Quadranten, also mit [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] y\ge0
[/mm]
> [mm]r^{2}=x^{2}+y^{2}[/mm]
> Bekomme bei dem Ergebnis das x nicht weg.
> Könt Ihr mal schauen, woran es liegt?
>
> Hier mein Rechenweg:
>
> Erstmal das Integral aufstellen:
> [mm]\int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \int_{0}^{r} xy^{3} dx dy[/mm]
Es sollte bestimmt das äußere Integral von 0 bis r
und das innere von 0 bis [mm] \sqrt{r^2-\,....} [/mm] laufen !
> Nach x integrieren:
> [mm]\int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \frac{1}{2}r^{2} y^{3} dy[/mm]
>
> Umformen:
> [mm]\frac{1}{2}r^{2} \int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} y^{3} dy[/mm]
>
> Nach y integrieren:
> [mm]\frac{1}{2}r^{2} ( \frac{1}{4}(\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{4} )[/mm]
>
> = [mm]\frac{1}{8}r^{2} (r^{2}-x^{2})^{2} )[/mm]
>
> An dieser Stelle sehe ich, dass ich das x im Endergebnis
> habe.
> Eigentlich soll doch das Ergebnis von x nicht abhängen.
Richtig beobachtet !
> Wie bekomme ich das x weg?
Durch Anwendung der richtigen Integrationsgrenzen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 23.10.2011 | | Autor: | zoj |
> > Berechnen Sie das Doppelintegral
> > [mm]\int \int_{B} xy^{3} dx dy [/mm], wobei B der Viertelkreis ist.
>
> Welcher Viertelkreis ?
> (vermutlich der im 1. Quadranten, also mit [mm]x\ge0[/mm] und
> [mm]y\ge0[/mm]
Genau.
> Es sollte bestimmt das äußere Integral von 0 bis r
> und das innere von 0 bis [mm]\sqrt{r^2-\,....}[/mm] laufen !
Ja, richtig.
> > Wie bekomme ich das x weg?
>
> Durch Anwendung der richtigen Integrationsgrenzen.
Zu den Integrationsgrenzen:
das x läuft von 0 bis r also: $ 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] r $
das y läuft auch von 0 bis r. Aber es soll kein Viereck sein, dh. y soll sich je nach x ändern. Also forme ich die gegebene Radium-Gleichung: [mm] $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ [/mm] nach y um und erhalte: [mm] $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$
[/mm]
Demnach läuf das y: $ 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{r^{2}-x^{2}} [/mm] $
Daraus folgt dann mein Integral mit den Integrationsgrenzen:
$ [mm] \int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \int_{0}^{r} xy^{3} [/mm] dx dy $
Ist es soweit in Ordnung?
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> > > Berechnen Sie das Doppelintegral
> > > [mm]\int \int_{B} xy^{3} dx dy [/mm], wobei B der Viertelkreis ist.
> >
> > Welcher Viertelkreis ?
> > (vermutlich der im 1. Quadranten, also mit [mm]x\ge0[/mm] und
> > [mm]y\ge0[/mm]
>
> Genau.
>
> > Es sollte bestimmt das äußere Integral von 0 bis r
> > und das innere von 0 bis [mm]\sqrt{r^2-\,....}[/mm] laufen !
>
> Ja, richtig.
>
> > > Wie bekomme ich das x weg?
> >
> > Durch Anwendung der richtigen Integrationsgrenzen.
>
> Zu den Integrationsgrenzen:
>
> das x läuft von 0 bis r also: [mm]0 \le x \le r[/mm]
> das y läuft
> auch von 0 bis r. Aber es soll kein Viereck sein, dh. y
> soll sich je nach x ändern. Also forme ich die gegebene
> Radium-Gleichung: [mm]r^{2}=x^{2}+y^{2}[/mm] nach y um und erhalte:
> [mm]y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}[/mm]
> Demnach läuf das y: [mm]0 \le y \le \sqrt{r^{2}-x^{2}}[/mm]
>
> Daraus folgt dann mein Integral mit den
> Integrationsgrenzen:
> [mm]\int_{0}^{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} \int_{0}^{r} xy^{3} dx dy[/mm]
>
> Ist es soweit in Ordnung?
Nein. Es soll eben das äußere Integral von 0 bis r laufen.
Also kannst du entweder so:
[mm] $\integral_{x=0}^{r}\ \left(\integral_{y=0}^{\sqrt{r^2-x^2}}f(x,y)\ dy\right)\ [/mm] dx$
oder so:
[mm] $\integral_{y=0}^{r}\ \left(\integral_{x=0}^{\sqrt{r^2-y^2}}f(x,y)\ dx\right)\ [/mm] dy$
integrieren.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 So 23.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
wenn x oder auch y im inneren Integral von 0 aus anwachsen, so läuft die zweite Variable von r nach 0.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo,
> wenn x oder auch y im inneren Integral von 0 aus anwachsen,
> so läuft die zweite Variable von r nach 0.
> Viele Grüße,
> Infinit
Hi Infinit,
ich verstehe nicht, was du damit sagen willst. Meinst du,
meine angegebenen Integrationsgrenzen
entweder so:
$ [mm] \integral_{x=0}^{r}\ \left(\integral_{y=0}^{\sqrt{r^2-x^2}}f(x,y)\ dy\right)\ [/mm] dx $
oder so:
$ [mm] \integral_{y=0}^{r}\ \left(\integral_{x=0}^{\sqrt{r^2-y^2}}f(x,y)\ dx\right)\ [/mm] dy $
seien so nicht richtig ?
(mir ist natürlich auch klar, dass z.B. der Ausdruck [mm] \sqrt{r^2-x^2}
[/mm]
abnimmt, wenn x zunimmt - aber das hat doch nichts mit
der Richtung der Integration zu tun ...)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich habe bisher immer Rechnungen gesehen, wo die obere bzw. untere Grenze des inneren Integrals die obere bzw. untere Grenze des äußeren Integrals bestimmt. Okay, der Unterschied ist nur ein Minuszeichen,aber immerhin. Mir ist eben nicht ganz klar, weswegen diese Integrationsrichtungen keinen Einfluß auf das Gebietsintegral haben sollten. In Deinem Beispiel hätte ich jetzt nach meinen Überlegungen so etwas erwartet:
$ [mm] \integral_{y=r}^{0}\ \left(\integral_{x=0}^{\sqrt{r^2-y^2}}f(x,y)\ dx\right)\ [/mm] dy $
Bin für jede Aufklärung dankbar.
Viele Grüße,
Infinit
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> ich habe bisher immer Rechnungen gesehen, wo die obere bzw.
> untere Grenze des inneren Integrals die obere bzw. untere
> Grenze des äußeren Integrals bestimmt. Okay, der
> Unterschied ist nur ein Minuszeichen,aber immerhin. Mir ist
> eben nicht ganz klar, weswegen diese Integrationsrichtungen
> keinen Einfluß auf das Gebietsintegral haben sollten. In
> Deinem Beispiel hätte ich jetzt nach meinen Überlegungen
> so etwas erwartet:
> [mm]\integral_{y=r}^{0}\ \left(\integral_{x=0}^{\sqrt{r^2-y^2}}f(x,y)\ dx\right)\ dy[/mm]
>
> Bin für jede Aufklärung dankbar.
>
> Viele Grüße,
> Infinit
Guten Abend Infinit,
hier geht es ja darum, eine gewisse Funktion f(x,y) über das
Gebiet mit [mm] 0\le{y}\le{r} [/mm] und dabei für jedes bestimmte y in diesem
Intervall von [mm] x_{min}=0 [/mm] bis [mm] x_{max}(y)=\sqrt{r^2-y^2} [/mm] zu integrieren.
Mir hilft es dabei, mir einen (möglicherweise altmodischen)
Scanner vorzustellen, der das Gebiet Zeile um Zeile abtastet.
Äußere Schleife von y=0 step dy bis y=r
Innere Schleife (für ein bestimmtes y) von x=0 step dx bis [mm] x_{max}(y)
[/mm]
Natürlich könnte ich die Scan-Richtung z.B. in y-Richtung
auch umkehren, wenn ich dazu Lust hätte. Dann würde ich
die äußere Schleife von y=r bis y=0 laufen lassen, aber dann
natürlich mit der Schrittweite (step) -dy ! Durch diesen zweiten
Vorzeichenwechsel wird dann das Ergebnis erst wieder richtig !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Di 25.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Al,
okay, das mit dem negativen Differential leuchtet mir ein. Danke für die Erklärung.
Viele Grüße,
Infinit
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