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| Aufgabe | Es sei A die Fläche im [mm] \IR^{2} [/mm] , die von y=0, y=1, x=y, [mm] x=y^2 [/mm] +1 begrenzt wird.
a) Man berechne das Integral [mm] \integral\integral [/mm] x^2y dA, indem man erst nach x und dann nach y integriert.
b) Man berechne das Integral [mm] \integral\integral [/mm] x^2y dA, indem man erst nach y und dann nach x integriert.
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Meine lösung:
zu a)
[mm] \integral_0^1 \integral_{x=y}^{x=y^2+1} x^2*y [/mm] dx dy = [mm] \bruch{67}{120} [/mm]
zu b)
[mm] \integral_0^1 \integral_{0}^{y=x}x^2y [/mm] dy dx + [mm] \integral_1^2 \integral_{y=\wurzel{x-1}}^{1} [/mm] x^2y dy dx = [mm] -\bruch{71}{40}
[/mm]
sind die ergebnise richtig?
also dass zwei verschiedene ergebnise herauskommen wundert mich zunächst erstmal nicht, da in der vorlesung gesagt wurde, dass die integrationsreihenfolge wichtig ist, wenn man sie vertauscht kommen unterschiedliche ergebnise heraus. die einzige ausnahme ist wenn man eine rechteckige grundfläche hat da bleibt das ergebnis gleich egal wonach man zuerst integriert.
wenn ich mir die beiden lösungen betrachte ist ersichtlich das erstere das richtige volumen angibt aufgrund des vorzeichens. aber nur daran erkenn ich das.
jetzt meine frage: woran erkenn ich wonach ich zuerst integrieren muss? und wieso kommen zwei unterschiedliche ergebnise heraus wenn man die integrationsreihenfolge vertauscht, das ergibt für mich einfach keinen sinn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Meine lösung:
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> zu a)
>
> [mm]\integral_0^1 \integral_{x=y}^{x=y^2+1} x^2*y[/mm] dx dy =
> [mm]\bruch{67}{120}[/mm]
>
> zu b)
>
> [mm]\integral_0^1 \integral_{0}^{y=x}x^2y[/mm] dy dx + [mm]\integral_1^2 \integral_{y=\wurzel{x-1}}^{1}[/mm]
> x^2y dy dx = [mm]-\bruch{71}{40}[/mm]
>
> sind die ergebnise richtig?
a) ist richtig. b) ist falsch. Die Ergebnisse in a) und b) stimmen miteinander überein. in b) ist das erste integral [mm] $\frac{1}{10}$ [/mm] und das zweite [mm] $\frac{11}{24}$.
[/mm]
> also dass zwei verschiedene ergebnise herauskommen wundert
> mich zunächst erstmal nicht, da in der vorlesung gesagt
> wurde, dass die integrationsreihenfolge wichtig ist, wenn
> man sie vertauscht kommen unterschiedliche ergebnise
> heraus. die einzige ausnahme ist wenn man eine rechteckige
> grundfläche hat da bleibt das ergebnis gleich egal wonach
> man zuerst integriert.
> wenn ich mir die beiden lösungen betrachte ist ersichtlich
> das erstere das richtige volumen angibt aufgrund des
> vorzeichens. aber nur daran erkenn ich das.
Keine Ahnung. Die Ergebnisse stimmen auf jeden Fall überein.
Gruß Denny
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okay stimmt kommt tatsächlich bei beiden dasselbe heraus, hatte mich verrechnet.
aber dennoch unser prof meinte die reihenfolge ist wichtig, aber hier war die reihenfolge beide mal unterschiedlich und dennoch kam dasselbe ergebnis heraus. warum ist die reihenfolge wichtig, oder hab ich ihn da einfach falsch verstanden und man darf sowohl zuerst nach x und dann nach y als auch zuerst nach y und dann nach x rechnen. und das was er mit der reihenfolge gemeint hatte wäre dann, dass wenn man zuerst nach x integriert man darauf achten muss dass bei dem zu dx zugehörigen integral die grenzen variabel sind und die zum y gehörenden integral dy die grenzen konstant. gleiches würde dann zutreffen wenn man zuerst nach y und dann nach x integriert also auch hier, darauf achten dass die grenzen die zum dy integral gehören variabel sind und die die zum dx integral gehören konstant sind.
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Hallo!
Normalerweise ist es egal, wie rum die Integrationsreihenfolge ist. Es gibt aber auch Fälle, in denen es tatsächlich zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Allerdings sind das meines Wissens nach eher "irgendwelche verrückten Mathematiker-Fälle" (sorry).
Allerdings ist wichtig, die Integrationsgrenzen zu kennen und bei einer Umkehrung der Integrationsreihenfolge entsprechend umzuformen.
Bedenke: Wenn f(x)<y<g(x) und A<x<B gelten soll, und du nun einfach zuerst über x integrierst, dann verschwindet doch nach Einsetzen der Grenzen A und B das x völlig aus dem ganzen Term. Wenn du dann über y integrierst, taucht da plötzlich im Endergebnis wieder ein x aus den Grenzen von y auf. Das ist natürlich nicht so klasse.
Statt dessen integrierst du erst über y, wodurch das y aus dem Term verschwindet, und durch die Grenzen weitere x-Abhängigkeiten hinein kommen. Anschließend wird über x integriert, und danach ist alles gut.
Daher ist es bei der Vertauschung wichtig, die Grenzen von x zunächst abhängig von y zu machen, und y dafür feste Grenzen zu verpassen.
Bei rechteckigen INtegrationsgebieten ergeben sich diese Probleme natürlich nicht, da x und y unabhängig voneinander sind.
Es gibt noch weitere Fallen:
Stell dir als Fläche mal ein Herz vor. Solange zuerst über y und dann über x integriert wird, ist alles OK.
ABER wenn du nun zuerst über x integrierst, mußt du dran denken, daß du im oberen Berech aufeinmal ZWEI Integrationsintervalle hast (Zieh mal ne waagerechte Linie durch, dann siehst du es!)
Das heißt, bei sowas mußt du dir immer im Klaren sein, wie dein Integrationsgebiet aussieht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 15.11.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
danke für den beitrag
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