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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | a) Zeigen sie, dass [mm] F(x)=\bruch{x}{2}*\wurzel{1-x^{2}}+\bruch{1}{2}*arcsin(x)+C [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] F(x)=\wurzel{1-x^{2}} [/mm] ist.
Ein Verweis auf die Formelsammlung gilt hier nichtals Lösung der Aufgabe!
b) Berechnen sie [mm] V=\integral_{G}^{}{f(x,y) dG}, [/mm] wobei G der Einheitskreis und f(x,y)=3-|x| ist.
c) Gegeben seien zwei Kreiszylinder mit Radius r=1 und Höhe h=6. Diese durchdringen sich so, dass sich ihre Symmetrieachsen senkrecht im Mittelpunkt der Figur schneiden.
Zeigen sie, dass sich das Gesamtvolumen dieser Figur als 4V (Aufgabenteil b)) berechnen lässt. |
Hi,
jetzt bin ich doch auf noch eine weiter Aufgabe gestoßen die ich nicht verstehe. Die aber von vorne bis hinten nicht :(
Das sind meine kümmerlichen Lösungsversuche:
a) ich dachte zuerst das sei nicht so schwer und hab versucht F(x) abzuleiten
Ergebnis: [mm] \bruch{1}{2}*(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}-x^{2}*(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}*(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
So, jetzt weiß ich nicht wie man das Umformt um auf [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] zu kommen. Bin mir aber fast sicher das ich das richtig abgeleitet habe.
b) nächster Aufgabenteil, nächstes Problem
für x>0
[mm] \integral_{-1}^{1}{}\integral_{-\wurzel{1-x^{2}}}^{\wurzel{1-x^{2}}}{3-x dydx}
[/mm]
Inneres Integral ergibt:
3y-xy
Grenzen für y eingesetzt, ergibt
[mm] 3*\wurzel{1-x^{2}}-x*\wurzel{1-x^{2}}-(-3*\wurzel{1-x^{2}}+x*\wurzel{1-x^{2}})
[/mm]
und jetzt hab ich das ein bisschen zusammengefasst und wollte das äußere Integral lösen.
Das Intergal von [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] ist ja oben gegeben aber mit dem Integral von [mm] x*\wurzel{1-x^{2}} [/mm] komm ich nicht klar. Wie integriert man das??? Oder habe ich beim Rechenweg schon einen Fehler gemacht?
c) Hier kann weiß ich nicht so recht wie ich das angehen soll. Die Figur schaut meines erachtens nach aus wie ein symmetrisches Kreuz aus Kreiszylindern...
Ist ziemlich viel was ich hier wissen will, aber ich hoffe mir kann trotzdem jemand weiterhelfen. Tausend Dank!!!!
Gruß
Stefan
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Hallo Stefan!
> a) ich dachte zuerst das sei nicht so schwer und hab
> versucht F(x) abzuleiten
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtiger Ansatz ...
> Ergebnis: [mm]\bruch{1}{2}*(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}-x^2*(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}*(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du einen Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] unterschlagen:
$$F'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}-\bruch{x^{2}}{\red{2}}*(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}*(1-x^{2})^{-\bruch{1}{2}}$$
[/mm]
Bringe nun die beiden letzten Terme auf einen Bruchstrich und kürze gemäß [mm] $\bruch{a}{\wurzel{a}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
differenzier mal [mm] (1-x^2)^{3/2} [/mm] dann hast dus fast:
gutes Rezept für fkt der Art [mm] f'*\wurzel{f}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mo 17.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ok, danke euch beiden!!!!!!
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