(Doppel-)Integral-Ungleichung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f\in L_1((0,1)). [/mm] Sei, für [mm] x\in(0,1): F(x)=\integral_{(0,x)}^{}{f(t) dt}
[/mm]
(a) Man zeige, dass F stetig ist.
(b) Man zeige, dass für jedes h mit 0<h<1 gilt:
[mm] \integral_{(0,1-h)}^{ }{|(F(x+h)-F(x)/h| dx} \le \integral_{(0,1)}^{}{|f| dx} [/mm] |
Hallo,
Teil a) habe ich bereits.
Bei b) komme ich nicht recht weiter. Mein Ansatz ist:
[mm] \integral_{(0,1-h)}^{ }{|(F(x+h)-F(x)/h| dx}=\integral_{(0,1-h)}^{}{|1/h * (\integral_{(0,x+h)}^{}{f(t) dt}-\integral_{(0,x)}^{}{f(t) dt}) |}=\integral_{(0,1-h)}^{}{|1/h * \integral_{[x,x+h)}^{}{f(t) dt}|} [/mm]
(aufspalten, dann kürzt sich ein Teil raus)
Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm] 1/h*\integral_{(x,x+h)}^{}{f(t) dt}\le{x} [/mm] ist (mit [mm] x\in(0,1-h) [/mm] )
Kann mir dabei jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
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Hallo nobbi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da hast Du ja gleich eine "nette" Frage...
Nehme ich richtig an, dass Du nur noch nicht mit dem Formeleditor vertraut bist? Großes Lob vorab: Du hast ihn direkt und weitestgehend erfolgreich angewandt! Klasse! Sollten sich die Integrationsgrenzen eigentlich wie folgt lesen?
Wenn nicht, bitte ich um Erläuterung. Die Schreibweise sagt mir an dieser Stelle nichts.
> Sei [mm]f\in L_1((0,1)).[/mm] Sei, für [mm]x\in(0,1): F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> (a) Man zeige, dass F stetig ist.
> (b) Man zeige, dass für jedes h mit 0<h<1 gilt:
> [mm]\integral_{0}^{1-h}{|(F(x+h)-F(x)/h| dx} \le \integral_{0}^{1}{|f| dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Teil a) habe ich bereits.
> Bei b) komme ich nicht recht weiter. Mein Ansatz ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{1-h}{|(F(x+h)-F(x)/h| dx}=\integral_{0}^{1-h}{|1/h * (\integral_{0}^{x+h}{f(t) dt}-\integral_{0}^{x}{f(t) dt}) |}=\integral_{0}^{1-h}{|1/h * \integral_{x}^{x+h}{f(t) dt}|}[/mm]
>
> Nun muss ich also noch zeigen, dass
> [mm] 1/h*\integral_{x}^{x+h}{f(t) dt}\le{x} [/mm] ist (mit [mm] x\in(0,1-h))
[/mm]
Deine Betragsstriche sind zwar einfallsreich, aber noch nicht sauber gesetzt, obwohl durchaus verständlich ist, was Du meinst.
Übrigens würde mich die Lösung zu a) auch interessieren. Könntest Du die mal einstellen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Fr 26.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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