Dizyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Facharbeit:Endliche Gruppen bis zur Ordnung 8 |
Hi ihr.
Ich bin jetzt auf ein neues Problem bei meiner Facharbeit gestoßen: Ich habe die Gruppen der Ordnung 8 näher betrachtet und bin daher nach der Quaternionengruppe auf die dizyklische Gruppe der Ordnung 8 gestoßen.
Jetzt wollte ich sie definieren und bin aber weder in Fachliteratur, noch im Internet auf Beschreibungen, worum es sich hierbei handelt gestoßen. Manchmal wird aber auch die Abkürzung [mm] H_n [/mm] für diese Gruppen verwendet. Deutet dies darauf hin, dass sie auch als Hamilton- Gruppen bezeichnet werden, oder haben die damit gar nichts zu tun? Oder besteht vielleicht eine Verbindung zu den zyklischen Gruppen? Wie muss ich mir die dizyklischen Gruppen vorstellen?
Danke schonmal im Voraus :) .
Lg. Miezekatze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 27.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Definition hab ich auch nur englisch gefunden:
![[]](/images/popup.gif) engl.wiki
Aber die Quaternionen und die dicykl. der Ordnung 8 sind homomorph, so dasss du sie nicht extra betrachten musst.
Gruss leduart
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Danke für den Wiki- Artikel. Den hatte ich echt noch nicht. Ich habe jetzt im englischsprachigen Netz noch ein bisschen weitergesucht und bin auf eine Seite gestoßen, in der die verallgemeinerten Quaternionengruppen als identisch mit den dizyklischen Gruppen angesehen werden. Stimmt das so? Oder sind die beiden Gruppenarten nur homo- oder isomorph (es gibt doch einen Unterschied zuwischen den verallgemeinerten und der Quaternionengruppe selbst, oder?)?
Lg. Miezekatze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 So 07.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Danke für den Wiki- Artikel. Den hatte ich echt noch nicht.
> Ich habe jetzt im englischsprachigen Netz noch ein bisschen
> weitergesucht und bin auf eine Seite gestoßen, in der die
> verallgemeinerten Quaternionengruppen als identisch mit den
> dizyklischen Gruppen angesehen werden. Stimmt das so? Oder
> sind die beiden Gruppenarten nur homo- oder isomorph (es
> gibt doch einen Unterschied zuwischen den verallgemeinerten
> und der Quaternionengruppe selbst, oder?)?
Wenn deine Aufgabe darin besteht, die Gruppen der Ordnung 8 zu bestimmen, dann gibt es davon 3 kommutative und 2 nichtkommutative (Diedergruppe [mm] D_{4}, [/mm] manchmal auch [mm] D_{8} [/mm] genannt, und Quaternionengruppe). Um die Nomenklatur würde ich mir nicht die ganz großen Sorgen machen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi.
Ja, meine Aufgabe ist an sich schon, die Gruppen alle darzustellen- also mit Gruppentafel und allem. Ich soll aber zu jeder Gruppenart (?) eine Definition bringen, und die Gruppen danach ordnen. Bei den meisten ist mir das auch schon gelungen, aber zu den dizyklischen Gruppen eben nicht und in Wikipedia und einigen Büchern habe ich gelesen, dass die Ordnung 8 dizyklische Gruppen enthält. Also muss ich irgendwie eine Definition dazu finden und das ist mein Problem.
Lg. Miezekatze
Ps: Die dizyklischen Gruppen können doch z.B. als [mm] Z_4 \times Z_2 [/mm] dargestellt werden, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mo 08.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die dicycl. Gruppen und die Quaternionen sind doch praktisch dasselbe, denn du hast recht, man kann sie als [mm] Z_4\times Z_2 [/mm] darstellen, die Quaternionen auch.
Als definition nimm die aus dem engl. Wiki
um allgemeinere dicycl. Gruppen solltest du dich einfach nicht mehr kümmern, die kann man dann auch verallgemeinerte Quaternionengruppen nennen, aber eben deshalb weil man dann veralg. Quat. genau solche Objekte nennt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Mo 08.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Die dicycl. Gruppen und die Quaternionen sind doch
> praktisch dasselbe, denn du hast recht, man kann sie als
> [mm]Z_4\times Z_2[/mm] darstellen, die Quaternionen auch.
wenn mit [mm] $Z_4 \times Z_2$ [/mm] das direkte produkt zweier zyklischer gruppen gemeint ist, so ist das falsch, denn die quaternionengruppe kann man nich in zwei echte direkte faktoren zerlegen - und damit auch nicht die dizykische gruppe [mm] $D_4$. [/mm] sie ist eben eine der beiden nicht-abelschen gruppe der ordnung $8$.
grüße
andreas
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Also habe ich das jetzt richtig verstanden: die verallgemeinerte Quaternionengruppe ist etwas anderes, als die dizyklische Gruppe?
Und was ist eigentlich ein direktes Produkt? Ich habe das schon oft gelesen, aber verständlich erklärt habe ich das noch nicht gefunden.
Danke schonmal 
Lg. Miezekatze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 09.10.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Also habe ich das jetzt richtig verstanden: die
> verallgemeinerte Quaternionengruppe ist etwas anderes, als
> die dizyklische Gruppe?
Jein, es gibt mehr dizyklische Gruppen als verallg. Quaternionengruppen.
Aber wenn es zu einer Ordnung beide gibt, dann sind sie isomorph. Das ist der Fall bei den 2er-Potenzen [mm] \ge [/mm] 8.
(So hab ich es jetzt verstanden.)
> Und was ist eigentlich ein direktes Produkt? Ich habe das
> schon oft gelesen, aber verständlich erklärt habe ich das
> noch nicht gefunden.
Das ist eierleicht: Wenn du 2 Gruppen G und H hast, dann bildest du die Paare (g, h) mit Elementen g [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H und rechnest komponentenweise (wie bei Vektoren und Vektoraddition). Du verknüpfst dann 2 Paare miteinander. Die Ebene [mm] \IR^{2} [/mm] ist z. B. das direkte Produkt von [mm] \IR [/mm] mit [mm] \IR. [/mm] Im allgemeinen haben aber die Verknüpfungen in G und H nichts miteinander zu tun.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Also bedeutet direktes Produkt, dass ich ein Element der einen Gruppe(z.B. g aus G) mit einem der anderen Gruppe verknüpfe (z.B. h aus H)?!
Was ist dann ein semidirektes Produkt?
Aber nochmal zurück zu den dizyklischen Gruppen: Die sind also direkte Produkte zyklischer Gruppen, z.B von [mm] Z_2 [/mm] und [mm] Z_4. [/mm] Ich glaube, so ganz verstanden habe ich das mit dem direkten Produkt doch noch nicht. Wie funktioniert das im konkreten Fall [mm] (Z_2 \times Z_4)? [/mm] Muss ich dann das neutrale Element von [mm] Z_2 [/mm] mit dem von [mm] Z_4 [/mm] verknüpfen? Und dann das erzeugende Element (z.B. a) von [mm] Z_2 [/mm] mit dem Erzeugenden (z.B. b) von [mm] Z_4? [/mm] Oder ganz anders? Wie sieht so eine Verknüpfungstafel einer dizyklischen Gruppe überhaupt aus?
Oje... so viele Fragen. Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen. Wäre wirklich lieb.
Danke schonmal.
Lg. Miezekatze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 09.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also bedeutet direktes Produkt, dass ich ein Element der
> einen Gruppe(z.B. g aus G) mit einem der anderen Gruppe
> verknüpfe (z.B. h aus H)?!
nein das bedeutet es nicht. beim direkten produkt haben die beiden beteiligten gruppen keinen direkten einfluss aufeinander. seien etwa $G, H$ gruppen, dann ist das direkte produkt von $G$ mit $H$ die menge $G [mm] \times [/mm] H = [mm] \{ (g, h): g \in G, h \in H \}$ [/mm] mit der verknüpfung [mm] $(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) [/mm] := [mm] (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)$. [/mm] das sind also genau die geordneten paare deren erster eintrag aus der gruppe $G$ und deren zweiter eintrag aus der gruppe $H$ ist und bei denen komponentenweise gerechnet wird - in dem ersten eintrag wird einfach mit der verknüpfung in $G$, im zweiten eintrag mit der verknüpfung in $H$ gerechnet. wenn du dir schon über die gruppen der ordnung $4$ gedanken gemacht hast, wirst du wohl auch schon auf eine solche gruppe gestoßen sein: es gibt nämlich - bis auf isomorphie - nur $2$ gruppen mit $4$ elementen: die zykliche gruppe und das direkte produkt zweier zklischer gruppen mit $2$ elementen.
> Was ist dann ein semidirektes Produkt?
das kannst du hier nachlesen, aber damit würde ich mich an deiner stelle jetzt erstmal nicht beschäftigen, da du das wohl nicht brauchst, wenn du alle gruppen bis zur ordnung $8$ klassifizieren willst und das wohl nur unnötig verwirrt.
> Aber nochmal zurück zu den dizyklischen Gruppen: Die sind
> also direkte Produkte zyklischer Gruppen, z.B von [mm]Z_2[/mm] und
> [mm]Z_4.[/mm]
nein. lies dir meine letzte mitteilung nochmal durch. da steht, dass es genau nicht so ist. wie kommst du denn darauf?
> Wie sieht so eine
> Verknüpfungstafel einer dizyklischen Gruppe überhaupt aus?
also wenn du die mal sehen willst, so kannst du die schnell selber ausrechnen (zumindest für die dizyklische gruppe der ordnung $8$). laut der englischen wikipedia definition, die leduart angegeben hat, lässt sich jedes element der gruppe als $1, a, [mm] a^2, a^3, [/mm] x, ax, a^2x, a^3x$ schreiben ("Thus, every element of Dicn can be uniquely written as akxj, where 0 ≤ k < 2n and j = 0 or 1.") jetzt kannst du diese elemente miteinander verknüpfen und dann mit denen in dem artikel angegeben regeln vereinfachen und wieder auf eine der oben angegeben formen bringen und in die verknüpfungstafel eintragen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 12.10.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also ich habe erst mal den Tipp befolgt, mich nicht weiter
> mit den semidirekten Produkten zu beschäftigen .
>
> Dann habe ich mir nochmal die Gruppen der Ordnung 4
> angeschaut. Meinst du mit dem direkten Produkt die
> Klein-4-Gruppe? Die gehört doch zu den Diedergruppen, oder
> lieg ich da wieder daneben? 
Für mich fangen die Dieder-Gruppen erst bei [mm] D_{3} [/mm] an, weil es irgendwie kein regelmäßiges 2eck gibt. Die Kleinsche Vierergruppe stelle ich mir immer als Symmetriegruppe des Rechtecks vor. Sie ist das direkte Produkt von 2 2er-Gruppen.
> Hat dann eine dizyklische Gruppe auch etwas mit den
> Diedergruppen zu tun?
Ja:
If we add the relation x2 = 1 to the presentation of Dicn one obtains a presentation of the dihedral group D2n, so the quotient group Dicn/<x2> is isomorphic to D2n. (Zitat aus der engl. Wiki)
Das verstehst du vielleicht nicht, aber es bedeutet, daß die Diedergruppe mit 2n Elementen homomorphes Bild der dizyklischen Gruppe mit 4n Elementen ist.
> Wenn die dizyklischen Gruppen nichts mit direkten Produkten
> zu tun haben, brauche ich die (direkten Produkte) dann
> überhaupt, um die Gruppen der Ordnung 8 zu verstehen?
Ja, die kommutativen Vertreter werden so sortiert. Guck mal nach dem Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen.
> Ich
> tu mir da nämlich etwas schwer damit (ich wusste ja bis vor
> einem halben Jahr noch nicht einmal von der Existenz der
> Gruppen ).
>
> Ach ja, und auf die Idee mit dem direkten Produkt bei den
> dizyklischen Gruppen bin ich eigentlich nur durch die
> Schreibweise gekommen. Ich habe irgendwie überlesen, dass
> du geschrieben hast, dass das nicht so ist. Sorry.
>
> Das mit der Gruppentafel für die dizyklische Gruppe habe
> ich ausprobiert. Aber mit den "defining relations" bin ich
> nicht ganz klargekommen. Am Ende habe ich die Gruppentafel
> also eher nach dem "Sudoku"-Prinzip besetzt. Ich poste sie
> hier mal (wenn ich das hinkriege ). Vielleicht kann
> sich jemand anschaun, ob die so stimmt.
Was ist das für eine Datei, welche Software?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Miezekatze |
Hi.
Die Gruppentafel habe ich Open Office geschrieben.
Den Rest muss ich mir nochmal in Ruhe durchlesen .
Danke.
Lg. Miezekatze
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Hi.
Also ich hatte jetzt heute meine zweite Facharbeitsbesprechung und mein Mathelehrer hat gemeint, dass ich die dizyklische Gruppen weglassen soll. (Er kannte sie gar nicht, bis ich ihm heute gesagt habe, dass ich keine richtigen Quellen dazu finde (Wikipedia ist ja keine anerkannte Quelle) ). Also werde ich das jetzt auch tun. Ich soll stattdessen einen Gliederungspunkt mit allen Gruppen bis zur Ordnung acht machen, die aus direkten Produkten bestehen. Daher wäre es toll, wenn ihr meine Gruppentafel (im Anhang meiner letzten Frage) anschauen könntet, ob sie so richtig ist.
Danke für die ganze Hilfe bisher .
Lg. Miezekatze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Di 16.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Also ich hatte jetzt heute meine zweite
> Facharbeitsbesprechung und mein Mathelehrer hat gemeint,
> dass ich die dizyklische Gruppen weglassen soll. (Er kannte
> sie gar nicht,
Das wundert mich nicht, ist aber auch keine Schande.
> bis ich ihm heute gesagt habe, dass ich
> keine richtigen Quellen dazu finde (Wikipedia ist ja keine
> anerkannte Quelle) ). Also werde ich das jetzt auch
> tun.
Mein Reden ...
> Ich soll stattdessen einen Gliederungspunkt mit allen
> Gruppen bis zur Ordnung acht machen, die aus direkten
> Produkten bestehen. Daher wäre es toll, wenn ihr meine
> Gruppentafel (im Anhang meiner letzten Frage) anschauen
> könntet, ob sie so richtig ist.
Dazu müßtest du mir verraten, wie ich sie mit MS Office öffnen kann, oder sie in einem anderen Format speichern.
Liebe Grüße
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Di 16.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich hatte jetzt heute meine zweite
> Facharbeitsbesprechung und mein Mathelehrer hat gemeint,
> dass ich die dizyklische Gruppen weglassen soll. (Er kannte
> sie gar nicht, bis ich ihm heute gesagt habe, dass ich
> keine richtigen Quellen dazu finde (Wikipedia ist ja keine
> anerkannte Quelle) ).
es gibt schon vernünftige quellen dazu, du musst aber wohl schon eine uni-bibliothek dazu konsultieren und das ist wohl definitiv zu viel aufwand. außerdem bringt das wohl nichts zum verständniss, da die dizyklische gruppe mit 8 elementen genau der quaternionen gruppe mit 8 elementen entspricht - im prinzip sind das die selben gruppen nur anders beschrieben (die gruppen sind isomorph). es genügt also bestimmt, wenn du für jeden der 5 isomorphietypen von gruppen der ordnung 8 eine darstellung bringst.
> Daher wäre es toll, wenn ihr meine
> Gruppentafel (im Anhang meiner letzten Frage) anschauen
> könntet, ob sie so richtig ist.
habe ich nun mal gemacht. erst einmal wird die verknüpfungstafel nicht symmetrisch sein zu einer diagonale von oben links nach unten rechts - diese symmetrie liegt genau dann vor, wenn die gruppe abelsch ist und diese gruppe ist nun mal nicht abelsch. wir sollten uns also auf eine verknüpfungsreihenfolge einigen: ich würde vorschlagen, dass in der zelle der zeile $g$ und spalte $h$ das produkt $gh$ steht (was in einigen fällen ungleich $hg$ ist!).
die erste zeile und spalte mit verknüpfungen (also die zum $1$-element gehörenden) stimmen auf jeden fall schonmal.
in deiner verknüpfungstabelle erhälst du in der [mm] $a^3$-zeile [/mm] und der $a$-spalte [mm] $a^3 \cdot [/mm] a = [mm] a^2$, [/mm] das kann ja nicht sein, da [mm] $a^3 \cdot [/mm] a = a [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] a = [mm] a^4$ [/mm] und in dieser gruppe nun mal [mm] $a^2 \not= a^4$.
[/mm]
weiter ist $xa [mm] \not= [/mm] ax$, sondern $xa = [mm] a^{-1}x$ [/mm] (wegen "if j = ±1, then xjak = a-kxj" oder "akxam = ak − mx" mit $k = 0$ - vergeliche die englische wikipedia) und weiter [mm] $a^{-1}x [/mm] = a^3x$ wegen [mm] $a^4 [/mm] = 1$, also $a [mm] \cdot a^3 [/mm] = 1$ und somit [mm] $a^{-1} [/mm] = [mm] a^3$. [/mm] also insgesamt $xa = a^3x$.
ich habe mal die einträge in den ersten beiden zeilen und spalten angeschaut und so korregiert, wie ich das für richtig halte. die einträge die ich geändert habe, habe ich mal mit gelb unterlegt. mach dir am besten mal klar, warum diese einträge so aussehen müssen. danach kannst du ja probieren die verbleibenden 36 einträge zu überprüfen.
habe jetzt mal probiert die tabelle in einem format zu speichern, dass auch mit irgendwelchen ms-produkten geöffnet werden kann, ich hoffe mal das funktioniert und hänge auch nochmal deine orginalverknüpfungstabelle in diesem format an:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") verknüpfungstabelle orginal,
verknüpfungstabelle mit änderungen, verknüpfungstabelle mit änderungen im odt-format
viel erfolg poste dann deine verknüpfungstafel dann am besten nochmal hier, dann kann nochmal jemand drüber schauen, ob das so stimmt. oder wenn du irgendwo hängen bleibst frage einfach nach. das thema ist wirklich nicht ganz einfach.
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: odt) [nicht öffentlich]
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Hi!
Also ich bin jetzt endlich wieder dazu gekommen, an meiner Facharbeit weiterzutüfteln und habe mir daher die verbesserte Verknüpfungstafel angeschaut. Was ich daran gar nicht verstehe ist, die man auf das [mm] a^4 [/mm] in Spalte 2, Zeile 4 kommt. Ich dachte nämlich immer, dass man Verknüpfungstafeln nur mit den Elementen ausfüllen darf, die in der allerersten Zeile/ Spalte stehen. Stimmt das nicht?
Mein Mathelehrer hat mir weiterhin noch den Hinweis gegeben, dass man bei Verknüpfungstafeln von Gruppen, die direkte Produkte sind (z. B. [mm] Z_2 \times Z_2), [/mm] die Verknüpfungstafeln der Gruppen, die man "multipliziert" (z.B. [mm] Z_2) [/mm] in der Verknüpfungstafel (z.B. von [mm] Z_2 \times Z_2) [/mm] wiederfindet.(Ich glaube, ich häng das mal an, dass man leichter nachvollziehen kann, was ich meine.) Datei-Anhang
Bei [mm] Z_4 \times Z_2 [/mm] kann ich mir jetzt aber gar nicht vorstellen, wie ich das umsetzen soll. Könnt ihr mir noch einen Tipp geben?
Danke schonmal
Lg. Miezekatze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: sxw) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mi 24.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich bin jetzt endlich wieder dazu gekommen, an meiner
> Facharbeit weiterzutüfteln und habe mir daher die
> verbesserte Verknüpfungstafel angeschaut. Was ich daran gar
> nicht verstehe ist, die man auf das [mm]a^4[/mm] in Spalte 2, Zeile
> 4 kommt. Ich dachte nämlich immer, dass man
> Verknüpfungstafeln nur mit den Elementen ausfüllen darf,
> die in der allerersten Zeile/ Spalte stehen. Stimmt das
> nicht?
doch das stimmt im prinzip schon, ich habe da die verknüpfungstafel etwas gedankenlos verbessert. obwohl mein eintrag richtig ist, ist es natürlich schöner $1$ an diese stelle zu schreiben, statt [mm] $a^4$, [/mm] jedoch ist dies in dieser gruppe das selbe. wenn du dir nämlich auf der englischen wikipedia seite die definierenden relationen anschaust (das was in den spitzen klammern steht), steht dort [mm] $a^{2n} [/mm] =n 1$, da hier $n = 2$, ist also [mm] $a^4 [/mm] = 1$. du siehst daran auch, dass in dieser gruppe ein und das selbe element verschiedene darstellungen haben können, man diese darstellungen aber mithilfe der relationen ineinander überführen kann. in der 2ten zeile, 4te splate soll natürlich auch [mm] $a^4 [/mm] = 1$ stehen.
den datei-anhang kann ich mir im moment nicht anschauen, vielleicht bekommst du eine antwort von jemand anders oder ich probiere das später nochmal.
grüße
andreas
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Hi!
Also ich hab jetzt nochmal versucht, die Verknüpfungstafel aufzustellen, verstehe aber leider die Hilfestellung von Andreas dazu nicht, die sich auf das englische Wikipedia bezieht.
Mein Problem liegt glaube ich darin, dass ich mit den Relationen aus dem Wikipedia- Artikel nichts anfangen kann. Ich hatte in meinen Büchern bisher nämlich immer nur Relationen wie z.B. [mm] a^4=e,b²=e [/mm] und ba=a³b, die die Verknüpfungstafel festgelegt haben. Mit Dingen wie " [mm] x^2a^k [/mm] = a^(k+n) = [mm] a^k [/mm] x² " oder " x²= [mm] a^n [/mm] " weiß ich nichts anzufangen.
Ich hab jetzt mal versucht, die Verknüpfungstafel mit Hilfe der Isomorphie zur Quaternionengruppe aufzustellen, aber die kann auch nicht stimmen, weil dann Teile von Andreas' Verbesserung falsch wären. :-(
Habt ihr noch weitere Tipps für mich?
Danke!
Lg. Miezekatze
Datei-Anhang (PDF-Datei)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hi!
Ich habe jetzt noch ein bisschen im Internet weitergesucht und habe diese Seite gefunden: http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroupC2xC4.html .
Da steht ja in so farbigen Feldern quasi, wie die Gruppentafel aussehen (zu [mm] Z_2\times Z_4) [/mm] aussehen soll. Ich habe jetzt versucht, das in Buchstaben auszudrücken: Datei-Anhang (PDF-Datei).
Diese Gruppentafel stimmt jetzt aber wieder nicht mit dem überein, was Andreas verbessert hat. Wie komme ich denn nun auf das richtige Ergebnis?
Bitte helft mir *verzweifel*.
Danke.
Lg. Miezekatze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Do 25.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe jetzt noch ein bisschen im Internet weitergesucht
> und habe diese Seite gefunden:
> http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroupC2xC4.html .
> Da steht ja in so farbigen Feldern quasi, wie die
> Gruppentafel aussehen (zu [mm]Z_2\times Z_4)[/mm] aussehen soll. Ich
> habe jetzt versucht, das in Buchstaben auszudrücken:
> Datei-Anhang (PDF-Datei).
> Diese Gruppentafel stimmt jetzt aber wieder nicht mit dem
> überein, was Andreas verbessert hat.
ok das liegt daran, dass [mm] $Z_2 \times Z_4$ [/mm] eben nicht isomorph zu der hier betrachteten dizyklischen gruppe ist (das hatten wir doch weiter oben schon mal diskutiert (vergleiche meine mitteilung von 09:45 Mo 08.10.2007)). um mal hier etwas entwirrung zu schaffen gebe ich jetzt mal die $5$ nicht isomorphen gruppen der ordnung 8 an [mm] ($Z_n$ [/mm] zyklische gruppe der ordnung $n$):
(1) [mm] $Z_8$, [/mm]
(2) [mm] $Z_2 \times Z_4$, [/mm]
(3) [mm] $Z_2 \times Z_2 \times Z_2$ [/mm]
(das sind die drei abelschen isomorphietypen)
(4) [mm] $Q_8$ [/mm] (quaternionengruppe der ordnung $8$)
(5) [mm] $D_4$ [/mm] (diedergruppe der ordnung $8$, symmetriegruppe des quadrates)
(das sind die beiden nicht-abelschen isomorphietypen)
und diese gruppen sind jeweils nicht zuereinander isomorph, also sehen die verknüpfungstafeln auch immer verschieden aus. ohne jetzt die hier von dir angegeben verknüpfungstafel ausführlich nachgerechnet zu habe erscheint mir die oberflächlich betrachtet richtig für die gruppe [mm] $Z_2 \times Z_4$, [/mm] damit aber natürlich nicht für die dizyklische gruppe der ordnung $8$. allerdings halte ich die wahl der bezeichungen der elemente für äußerst ungeschickt, da keine systematik dahintersteckt - zumindest keine die der gruppenstruktur von [mm] $Z_2 \times Z_4$ [/mm] entspricht (warum ist etwa [mm] $a^2 \cdot [/mm] a = x$ und nicht gleich [mm] $a^3$, [/mm] was doch viel naheliegender ist).
wenn du eine verknüpfunstafel für die gruppe [mm] $Z_2 \times Z_4$ [/mm] aufstellen willst, dann beitet es sich auf jeden fall an dies der struktur des direkten produktes entsprechend zu tun also alle elemente der gruppe mit $(x, y) [mm] \in Z_2 \times Z_4$ [/mm] zu bezeichnen, wobei $x [mm] \in Z_2$ [/mm] und $y [mm] \in Z_4$. [/mm] wenn du die gruppe [mm] $Z_2$ [/mm] darstellst durch die elemente $1, a$ und die gruppe [mm] $Z_4$ [/mm] durch die elemente $1, b, [mm] b^2, b^3$, [/mm] dann erhälst du ja genau die $8$ elemnete $(1, 1), (1, b), (1, [mm] b^2), [/mm] (1, [mm] b^3), [/mm] (a, 1), (a, b), (a, [mm] b^2), [/mm] (a, [mm] b^3)$. [/mm] und nun rechnest du in der ersten koordinate einfach in der gruppe [mm] $Z_2$ [/mm] und in der zweiten in der koordinate in der gruppe [mm] $Z_4$ [/mm] (das ist das was ich in einer früheren antwort auch schon mal über die allgemeien struktur des direkten produktes geschrieben habe). so erhälst du etwa $(a, [mm] b^2)(1,b) [/mm] = (a, [mm] b^3)$ [/mm] und $(a, [mm] b^3)(a, b^3) [/mm] = (1, [mm] b^2)$ [/mm] und so weiter. stelle doch mal auf diese weise die verknüpfungstafel auf und poste diese hier. dann wirst du auch die verknüpfungstafel von [mm] $z_2$ [/mm] und [mm] $Z_4$ [/mm] darin wiedererkennen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 25.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich hab jetzt nochmal versucht, die Verknüpfungstafel
> aufzustellen, verstehe aber leider die Hilfestellung von
> Andreas dazu nicht, die sich auf das englische Wikipedia
> bezieht.
> Mein Problem liegt glaube ich darin, dass ich mit den
> Relationen aus dem Wikipedia- Artikel nichts anfangen
> kann. Ich hatte in meinen Büchern bisher nämlich immer nur
> Relationen wie z.B. [mm]a^4=e,b²=e[/mm] und ba=a³b, die die
> Verknüpfungstafel festgelegt haben. Mit Dingen wie " [mm]x^2a^k[/mm]
> = a^(k+n) = [mm]a^k[/mm] x² " oder " x²= [mm]a^n[/mm] " weiß ich nichts
> anzufangen.
also das dort angegeben sind im prinzip nur recheneregelen, die einem das verknüpfen vereinfachen sollen und gelten eben für alle ganzen zahlen $k, m$ und $n$ und ermöglichem einen so immer auf eine "normierte darstellung" [mm] $a^kx^j$, [/mm] $0 [mm] \leq [/mm] k < 2n, 0 [mm] \leq [/mm] j <2$ zu kommen. das ist aber auch nicht so wichtig. wichtig ist, dass du die definierenden relationen verstehst, denn daraus folgen all diese rechenregeln. dich interessiert ja die dizyklische gruppe der ordnung $8$ und da [mm] $\textrm{Dic}_n$ [/mm] laut dem artikel $4n$ elemente hat, musst du eben die gruppe [mm] $\textrm{Dic}_2$ [/mm] anschauen. damit sieht dei präsentataion, wie sie bei wikipedia angegeben ist, folgendermaßen aus:
[m] \textrm{Dic}_2 = \left< a, x \; | \; a^4 = 1, \, x^2 = a^2, \, x^{-1}ax = a^{-1} \right> [/m]
insbesonder folgt aus der ersten relation also wegen [mm] $aa^3 [/mm] = 1$ also [mm] $a^{-1} [/mm] = [mm] a^3$. [/mm] mit hilfe der letzten relation kann man dann folgern $xa = a^3x$, also wenn ich ein $a$ von hinten an dem $x$ vorbeischieben will entsteht dafür vor dem $x$ ein [mm] $a^3$.
[/mm]
wenn man dann den orbersten deiner rot markierten einträge berechnet erhält man somit $(ax) [mm] \cdot [/mm] a = axa = aa^3x = a^4x = 1x = x$, wobei hier eben wieder die erste relation, nämlich dass [mm] $a^4 [/mm] = 1$ ist, einging. probiere doch nochmals auf diese weise alle einträge zu berechnen, dir sollte dabei tatsächlich, neben den definierenden relationen, die relation $xa = a^3x$ ausreichen um alle einträge zu berechnen.
> Ich hab jetzt mal versucht, die Verknüpfungstafel mit
> Hilfe der Isomorphie zur Quaternionengruppe aufzustellen,
> aber die kann auch nicht stimmen, weil dann Teile von
> Andreas' Verbesserung falsch wären. :-(
also wenn du die verknüpfungstabelle mit hilfe der quaternionengruppe aufstellen willst, dann könnte etwa das element $a$ dem $i$ der quaternionen und $x$ dem $j$ der quaternionen entsprechen. allerdings halte ich diesen zugang für nicht allzu hilfreich.
> Habt ihr noch weitere Tipps für mich?
also ich hoffe mit den erlärungen kannst du nun die korrekte verknüpfungstafel aufstellen. die kannst du ja dann mal hier posten. wenn du bei irgendwelchen elementen glaubst dass der eintrag falsch ist oder dir nicht sicher bist, solltest du deine rechnung mitposten, ansonsten ist das immer ziemlich schwer zu überprüfen.
außerdem bietet es sich an die riehenfolge der zeilen und spalten wieder so zu wählen, wie bei den ersten tafeln, dass also wieder $a$ vor [mm] $a^2$ [/mm] steht.
grüße
andreas
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Hi!
Ich habe jetzt die Verknüpfungstafel für [mm] Z_2\times Z_4 [/mm] mit den vorgeschlagenen Bezeichnungen für die Elemente so gemacht, wie ich denke, dass es richtig ist. Es wäre toll, wenn sich jemand nochmal anschaun könnte, ob sie so stimmt. Datei-Anhang (pdf-Datei)
Danke auch für die Hilfe mit der dizyklischen Gruppe. Ich habe dank der Auflistung aller Gruppen der Ordnung 8 im vorletzten Beitrag endlich verstanden, dass die dizyklische Gruppe nichts mit der [mm] Z_2\times Z_4 [/mm] - Gruppe zu tun hat. Also muss ich sie (zum Glück ) auch nicht aufstellen.
Ich muss mich stattdessen noch ein wenig mit den direkten Produkten befassen und auch die Gruppentafeln von [mm] Z_2\times Z_2, Z_2\times Z_3, [/mm] sowie [mm] Z_2\times Z_2 \times Z_2 [/mm] aufstellen. Welche Elemente muss ich dafür am besten verwenden?
Danke!
Lg. Miezekatze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 30.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe jetzt die Verknüpfungstafel für [mm]Z_2\times Z_4[/mm] mit
> den vorgeschlagenen Bezeichnungen für die Elemente so
> gemacht, wie ich denke, dass es richtig ist. Es wäre toll,
> wenn sich jemand nochmal anschaun könnte, ob sie so stimmt.
> Datei-Anhang (pdf-Datei)
die sieht gut aus erkennst du die verknüpfungstafel von [mm] $Z_4$ [/mm] und [mm] $Z_2$ [/mm] als teiltafeln dieser?
> Danke auch für die Hilfe mit der dizyklischen Gruppe. Ich
> habe dank der Auflistung aller Gruppen der Ordnung 8 im
> vorletzten Beitrag endlich verstanden, dass die dizyklische
> Gruppe nichts mit der [mm]Z_2\times Z_4[/mm] - Gruppe zu tun hat.
> Also muss ich sie (zum Glück ) auch nicht aufstellen.
> Ich muss mich stattdessen noch ein wenig mit den direkten
> Produkten befassen und auch die Gruppentafeln von [mm]Z_2\times Z_2, Z_2\times Z_3,[/mm]
> sowie [mm]Z_2\times Z_2 \times Z_2[/mm] aufstellen. Welche Elemente
> muss ich dafür am besten verwenden?
das geht im prinzip genauso wie bei [mm] $Z_2 \times Z_4$. [/mm] etwa für [mm] $Z_2 \times Z_2 \times Z_2$ [/mm] erhälst du dann die elemente $(1, ,1, 1), (a, 1, 1), (a, b, 1), (a, 1, c), (a, b, c), (1, b, 1), (1, b, c), (1, 1, c)$ und rechnest in jeder koordinate wie in [mm] $Z_2$. [/mm] das solltest du dann auch für die anderen gruppen hinbekommen.
grüße
andreas
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