Division mit Rest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] a\in \IN [/mm] und [mm] p\in [/mm] P (P ist die Menge aller Primzahlen) gegeben mit [mm] 1\le [/mm] a [mm] \le [/mm] p-1. Wir teilen nun die Zahlen a, 2a, 3a, ...,(p-1)a mittels Division mit Rest durch p und erhalten so die Reste [mm] r_{1}, r_{2}, [/mm] ... [mm] r_{p -1}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl von 1 bis p-1 genau einmal unter diesen Resten vorkommt. |
Hallöle erstmal,
Ich bin mit der Eindeutigkeit der Reste mittlerweile fertig. Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass auch wirklich jeder Reste [mm] r_{1}, r_{2}, [/mm] ... [mm] r_{p -1} [/mm] wirklich vorkommt (also existiert)? PS: modulo - Rechnung ist noch nicht eingeführt worden.
Wäre super, wenn mir jemand ein paar Anregungen geben könnte. Besten Dank!
KommissarLachs
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Seien [mm]a\in \IN[/mm] und [mm]p\in[/mm] P (P ist die Menge aller
> Primzahlen) gegeben mit [mm]1\le[/mm] a [mm]\le[/mm] p-1. Wir teilen nun die
> Zahlen a, 2a, 3a, ...,(p-1)a mittels Division mit Rest
> durch p und erhalten so die Reste [mm]r_{1}, r_{2},[/mm] ... [mm]r_{p -1}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl von 1 bis p-1 genau einmal
> unter diesen Resten vorkommt.
> Hallöle erstmal,
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> Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass auch wirklich
> jeder Reste [mm]r_{1}, r_{2},[/mm] ... [mm]r_{p -1}[/mm] wirklich vorkommt
Hallo,
wenn einer dieser Reste nicht vorkommt, müssen ka und la denselben Rest lassen. Nun schau Dir ka-la an.
Gruß v. Angela
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Hallo,
dank dir erstmal sehr für die schnelle Antwort. Hab den Rat befolgt und bin jetzt bei folgender Zeile:
(i-j)a [mm] =p(q_{i}- q_{j})
[/mm]
=> a = p* [mm] \bruch{q_{i}- q_{j}}{i - j}
[/mm]
Das ist doch jetzt ein Widerspruch, oder?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Sa 05.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] a=p*\bruch{q_{i}-q_{j}}{i-j}
[/mm]
Und jetzt überdenke mal die Voraussetzungen an p (und an a).
Dann wird relativ deutlich, dass das einen Widerspruch ergibt.
Marius
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Hallo noch mal,
also irgendwie kapier ich das nicht. Ich will doch zeigen, dass alle Reste 1,..., p-1 vorkommen und nicht, dass die Reste eindeutig sind. Hab denn damit gezeigt, dass alle Reste 1, ..., p-1 auftreten?
Danke schon mal und sorry, dass ich es irgendwie nicht kapier.
Gruß, KommissarLachs
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 06.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch p-1 Reste. wenn alle verschieden sind, bist du fertig! denn dann können das nur die Zahlen von 1 bis p-1 sein.
Wenn 2 gleich wären, etwa von j*a und i*a i>j dann wäre der Rest bei k*a =(i-j)*a doch 0 Widerspruch, da p anicht teilt und damit auch alle n*a mit n<p-1 nicht.
Du hast das nur ungeschickt hingeschrieben, weil du durch i-j geteilt hast.
Gruss leduart
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