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Hallo ihr !
Nun habe ich eine Frage zur Divergenz von Folgen und wie ich diese beweise.
wenn ich mir die Folge [mm] (-1)^j*(j+1/j) [/mm] j [mm] \in [/mm] N anschaue und mal ein paar werte iengebe, sieht man ja schon sehr bald, dass die folge nicht konvergiert, da sie durch die [mm] (-1)^j [/mm] jeweils für ein j positiv ist und für ein j+1 negativ wird. (gerades und ungerades j)Man könnte nun einen Widerspruchsbeweis machen und annehmen, dass es ein a [mm] \in [/mm] R gibt, für das gilt [mm] \left| (1)^j*(j+1/j)- a \right|< \varepsilon
[/mm]
aber wie mache ich dann weiter?
In der vorlesung hatten wir zwar ein beispiel, aber da haben wir dann irgendwie einfach [mm] \varepsilon [/mm] : =1 gesetzt (achso es ging um die Folge [mm] aj:=(-1)^j) [/mm] und haben dann irgendwie einen widerspruch erhalten.
aber wie kommt man erstmal auf ein solches [mm] \varepsilon??Darf [/mm] ich das einfach so bestimmen ?Und wie mache ich dann weiter?
Wäre super wenn ihr mir erstma kleine tips geben könntet.
Lg Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo Sandra,
ich bin im ersten Semester Mathe und habe mich vor einer Woche ebenfalls mit den Divergenzbeweisen herumgeplagt.
Soweit ich das verstanden habe, gibst du dir das [mm] \varepsilon [/mm] geschickt vor, damit du damit einen Widerspruch zur Annahme erhältst.
Wenn etwas für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt, dann muss es auch beispielsweise für [mm] \varepsilon [/mm] > 0,5 gelten.
Unser Prof hat uns gesagt: Zuerst den Betrag durchrechnen und sehen was rauskommt, anschließend dann das [mm] \varepsilon [/mm] anpassen, so dass ein Widerspruch rauskommt.
Ich hoffe, ich konnte dir ein kleines bisschen helfen. So gut kenne ich mich leider auch nicht mit den Beweisen aus.
Alles Gute,
Simone
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Mhm...und wie rechne ich einen betrag durch?
Alles gar nicht so einfach mit den Beweisen.
Trotzdem danke..Hat jemadn anderes noch nen Tip?
Lg Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 08.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin pusteblume86!
In diesem Fall musst du nicht auf einen [mm] \varepsilon [/mm] Beweis zurückgreifen. Eine Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert doch gegen a, wenn jede Teilfolge [mm] a_{n_{k}} [/mm] von [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert. Daraus resultiert das eine konvergente Folge genau einen Häufungspunkt besitzt der gleich dem Grenzwert ist.
Betrachten wir desweiteren mal deine Teilfolgen:
für gerade j
[mm] a_{j}=(j+\bruch{1}{j})
[/mm]
die kannst du nach unten abschätzen:
[mm] j
Damit hast du schon mal eine bestimmt divergente Teilfolge
und die gesamte Folge kann nicht konvergieren.
genauso kannst du die andere Teilfolge abschätzen.
[mm] -j-\bruch{1}{j}<-j [/mm]
alles klar?
MfG
saxneat
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hallo du.
Bisher hatten wir den Begriff Teilfolge noch nicht, kann mir zwar schon etwas darunter vorstellen, denn ganz doof ist man ja nicht, aber verstehen tue ich deine Lösung nicht wirklich...;(
Des weiteren hatte ich mich auch noch bei der Aufgabe verschrieben..;( Sie lautet
aj:= [mm] (-1)^j(j+1/j)+j
[/mm]
und eine zweite Aufgabe war aj:= [mm] \summe_{n=0}^{j}(-1)^n
[/mm]
Bei dieser wird ja relativ schnell klar, dass die Folgengleider immer 1 und 0 im Wechsel sind, also nicht konvergieren..Aber wie mache ich hier den Beweis???
Es reicht ja, ein epsilon zu finden ,für das die Definition für konvergente Folgen nicht erfüllt ist....
Ich würde jetzt einen Widersprcuhsbeweis machen, aber weiß halt nicht so ganz genau wie.
In den Büchern und den Übungsbesprechungen wirkt das immer total einfach, weil die da z.b ein Epsilon vorgeben, für das es nicht geht, aber wie kommt man erstmal auf dieses????
So langsam wei0 ich warum soviele Leute Mathe abbrechen;)dabei war ich noch eine mit den meisten Übungspunkten beim letzten Blatt....kann mir denn jemand helfen.??
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Hallo Pusteblume,
> Des weiteren hatte ich mich auch noch bei der Aufgabe
> verschrieben..;( Sie lautet
>
> aj:= [mm](-1)^j(j+1/j)+j[/mm]
>
> und eine zweite Aufgabe war aj:= [mm]\summe_{n=0}^{j}(-1)^n[/mm]
>
> Bei dieser wird ja relativ schnell klar, dass die
> Folgengleider immer 1 und 0 im Wechsel sind, also nicht
> konvergieren..Aber wie mache ich hier den Beweis???
Als Formel
[mm] |a_{n+1}-a_n|=1 [/mm]
> Es reicht ja, ein epsilon zu finden ,für das die Definition
> für konvergente Folgen nicht erfüllt ist....
> Ich würde jetzt einen Widersprcuhsbeweis machen, aber weiß
> halt nicht so ganz genau wie.
Widerspruchsbeweis ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Es gibt einen Grenzwert a. Jetzt kann man in [mm] |a_{n+1}-a_n| [/mm] eine nahrhafte Null einfügen (0=(a-a))
[mm] |(a_{n+1}-a)-(a_n-a)|
[/mm]
mit Dreiecksungleichung abschätzen
[mm] |(a_{n+1}-a)-(a_n-a)|<|a_{n+1}-a|+|a_n-a|
[/mm]
Wenn Du Dir jetzt nochmal die Definition von Konvergenz [mm] (\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 [/mm] ...) anschaust kannst Du vermutlich selbst einen Widerspruch erzeugen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 08.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Was mir da noch einfällt...
!! nicht verwechseln!!
alternierende Folgen sind nicht notwendigerweise divergent.
Betrachtez.B.
[mm] a_{n}=(-1)^{n}(\bruch{1}{n}
[/mm]
Es kommt also auf das Verhalten der Teilfolgen an.
MfG
saxneat
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