Divergenz und Rotation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \to \IR^2, [/mm] f(x):= [mm] u(|x|^2)\vektor{x_2 \\ -x_1} [/mm] ist divergenzfrei, also [mm] \nabla*f=0
[/mm]
[mm] g:\IR^3 \to \IR^3, [/mm] g(x):= [mm] u(|x|^2)x [/mm] ist rotationsfrei, also [mm] \nabla \times [/mm] g=0 |
Ich komme aus irgend einem Grund hier nicht auf 0. mein Problem ist hier vermutlich das u.
[mm] \nabla *f=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x_1} \\ \bruch{\delta}{\delta x_2}}*\vektor{u(|x|^2)(x_2) \\ u(|x^2)(-x_1)}
[/mm]
[mm] u(|x|^2) =u(x_1^2+x_2^2)^\bruch{1}{2}=ux_1(x_1^2+x_2^2)^-\bruch{1}{2}
[/mm]
Muss ich hier nach der Produktregel ableiten?
Dann müsste das ja so sein:
[mm] \nabla *f=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x_1} \\ \bruch{\delta}{\delta x_2}}*\vektor{u(|x|^2)(x_2) \\ u(|x^2)(-x_1)}
[/mm]
= [mm] u*x_1*x_2(x_1^2+x_2^2)^{-\bruch{1}{2}}-u*x_2*x_1(x^1^2+x_2^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] =0
Stimmt das so?
Dann soll gezeigt werden dass [mm] g:\IR^3 \to \IR^3, [/mm] g(x):= [mm] u(|x|^2)x [/mm] ist rotationsfrei, also [mm] \nabla \times [/mm] g=0
[mm] \vektor{\bruch{\delta}{\delta x_1} \\ \bruch{\delta}{\delta x_2} \\ \bruch{\delta}{\delta x_3}} \times \vektor{u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}})*x_1 \\ u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}*x_2 \\ u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2})*x_3 }= [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2- \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3 [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3- \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1- \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2
[/mm]
da komme ich aber nicht auf = 0.
Wo liegt hier mein Fehler?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 06.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Was ist u()? Das steht nicht in der Aufgabe. Vermutung: eine differenzierbare Funktion.
Daher musst Du beim Ableiten die Kettenregel anwenden. Die Produktregel natürlich auch.
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[mm] u\in C^1(\IR) [/mm] war gegeben.
was stimmt an meiner Rechnung nicht? Oder ist das ok was ich gemacht hab?
Mfg
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 07.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Rechng ist falsch, wenn du u(|x|)ableitest hast du doch du/d|x|*d|x|/du also Kettenregel.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR^2 \to \IR^2,[/mm] f(x):= [mm]u(|x|^2)\vektor{x_2 \\ -x_1}[/mm] ist
> divergenzfrei, also [mm]\nabla*f=0[/mm]
>
> [mm]g:\IR^3 \to \IR^3,[/mm] g(x):= [mm]u(|x|^2)x[/mm] ist rotationsfrei, also
> [mm]\nabla \times[/mm] g=0
> Ich komme aus irgend einem Grund hier nicht auf 0. mein
> Problem ist hier vermutlich das u.
>
> [mm]\nabla *f=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x_1} \\ \bruch{\delta}{\delta x_2}}*\vektor{u(|x|^2)(x_2) \\ u(|x^2)(-x_1)}[/mm]
>
> [mm] u(|x|^2) =u(x_1^2+x_2^2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
Wo kommt der Exponent 1/2 her ?? Es ist [mm] u(|x|^2) =u(x_1^2+x_2^2) [/mm] !!
> [mm] =ux_1(x_1^2+x_2^2)^-\bruch{1}{2}
[/mm]
Was machst Du da ? Das stimmt hinten und vorne nicht !
>
> Muss ich hier nach der Produktregel ableiten?
> Dann müsste das ja so sein:
>
> [mm]\nabla *f=\vektor{\bruch{\delta}{\delta x_1} \\ \bruch{\delta}{\delta x_2}}*\vektor{u(|x|^2)(x_2) \\ u(|x^2)(-x_1)}[/mm]
>
> =
> [mm]u*x_1*x_2(x_1^2+x_2^2)^{-\bruch{1}{2}}-u*x_2*x_1(x^1^2+x_2^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> =0
>
> Stimmt das so?
Nein. Das sind völlig chaotische Rechnungen !
Wenn Du differenzierst, müßte doch auch irgendwo die Ableitung u' auftauchen. Das tut sie aber nicht.
>
>
>
> Dann soll gezeigt werden dass [mm]g:\IR^3 \to \IR^3,[/mm] g(x):=
> [mm]u(|x|^2)x[/mm] ist rotationsfrei, also [mm]\nabla \times[/mm] g=0
>
> [mm]\vektor{\bruch{\delta}{\delta x_1} \\ \bruch{\delta}{\delta x_2} \\ \bruch{\delta}{\delta x_3}} \times \vektor{u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}})*x_1 \\ u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\bruch{1}{2}}*x_2 \\ u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^\bruch{1}{2})*x_3 }=[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2- \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_3- \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_1- \bruch{1}{2}*u(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\bruch{1}{2}}*2x_2[/mm]
>
>
> da komme ich aber nicht auf = 0.
>
> Wo liegt hier mein Fehler?
Auch hier wieder: der Exponent 1/2 und kein u' !!! Völliges Chaos.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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okay, mir war nicht klar, dass ich u auch ableiten muss, also ein neuer Versuch! Wobei ich doch nur nach [mm] x_1,x_2 [/mm] ableiten muss...
Ich habe dann:
[mm] u(x_1^2+x_2^2)*x_2
[/mm]
Also muss ich den ersten Term ableiten und [mm] x_2
[/mm]
Der erste Term abgeleitet:
[mm] ((x_1^2+x_2^2)+u(x_1^2+x_2^2)*2x [/mm]
[mm] x_2 [/mm] abgeleitet 2x
Dann nach der Produktregel:
[mm] ((x_1^2+x_2^2)+u(x_1^2+x_2^2)*2x )*x_2+u(x_1^2+x_2^2)*2x
[/mm]
So besser? Nun nur noch zusammenfassen....
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay, mir war nicht klar, dass ich u auch ableiten muss,
> also ein neuer Versuch! Wobei ich doch nur nach [mm]x_1,x_2[/mm]
> ableiten muss...
>
> Ich habe dann:
> [mm]u(x_1^2+x_2^2)*x_2[/mm]
>
> Also muss ich den ersten Term ableiten und [mm]x_2[/mm]
>
> Der erste Term abgeleitet:
> [mm]((x_1^2+x_2^2)+u(x_1^2+x_2^2)*2x[/mm]
> [mm]x_2[/mm] abgeleitet 2x
>
> Dann nach der Produktregel:
>
> [mm]((x_1^2+x_2^2)+u(x_1^2+x_2^2)*2x )*x_2+u(x_1^2+x_2^2)*2x[/mm]
>
> So besser?
Nein. Das stimmt alles hinten und vornr nicht !
Wir setzen [mm] g(x_1,x_2)=u(x_1^2+x_2^2)*x_2
[/mm]
Wenn wir das nach [mm] x_1 [/mm] ableiten bekommen wir:
[mm] g_{x_1}= u'(x_1^2+x_2^2)*2x_1x_2
[/mm]
Wenn wir das nach [mm] x_2 [/mm] ableiten bekommen wir:
[mm] g_{x_2}= u'(x_1^2+x_2^2)*2x_2^2+u(x_1^2+x_2^2)
[/mm]
FRED
> Nun nur noch zusammenfassen....
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Di 08.05.2012 | | Autor: | heinze |
Frage heirzu: Warum muss dieser Term anch [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] abgeleitet werden? Wo bleibt da die Rotationsfreiheit?
Das würde ja dann heißen [mm] u(x_1^2+x_2^2)*-x_1 [/mm] auch nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ableiten und dann alle 4 Ableitungen addieren?
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 08.05.2012 | | Autor: | chrisno |
> Frage heirzu: Warum muss dieser Term anch [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> abgeleitet werden?
Weil das die partiellen Ableitungen sind.
> Wo bleibt da die Rotationsfreiheit?
Die soll doch gezeigt werden. Da kann man sie nicht schon einsetzen. Allerdings gehört die zu dem anderen Aufgabenteil.
>
> Das würde ja dann heißen [mm]u(x_1^2+x_2^2)*-x_1[/mm] auch nach
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] ableiten und dann alle 4 Ableitungen addieren?
Das schreib mal hin. Beachte, dass bei der Divergenz ein Vektor entsteht.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 10.05.2012 | | Autor: | triad |
> Wir setzen [mm]g(x_1,x_2)=u(x_1^2+x_2^2)*x_2[/mm]
>
> Wenn wir das nach [mm]x_1[/mm] ableiten bekommen wir:
>
> [mm]g_{x_1}= u'(x_1^2+x_2^2)*2x_1x_2[/mm]
>
>
> Wenn wir das nach [mm]x_2[/mm] ableiten bekommen wir:
>
> [mm]g_{x_2}= u'(x_1^2+x_2^2)*2x_2^2+u(x_1^2+x_2^2)[/mm]
Warum leitest du g nochmal nach [mm] x_2 [/mm] ab? Es ist doch
$ [mm] \nabla*f [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^n\partial_i f_i [/mm] $
also $ [mm] \nabla*f [/mm] = [mm] \partial_{x_1}(u(x_1^2+x_2^2)x_2) [/mm] + [mm] \partial_{x_2}(-u(x_1^2+x_2^2)x_1) [/mm] $
$ [mm] ..\qquad\qquad\quad [/mm] = [mm] u'(x_1^2+x_2^2)2x_1x_2 \;+ -u'(x_1^2+x_2^2)2x_1x_2 [/mm] $
$ [mm] ..\qquad\qquad\quad [/mm] = 0 $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Wir setzen [mm]g(x_1,x_2)=u(x_1^2+x_2^2)*x_2[/mm]
> >
> > Wenn wir das nach [mm]x_1[/mm] ableiten bekommen wir:
> >
> > [mm]g_{x_1}= u'(x_1^2+x_2^2)*2x_1x_2[/mm]
> >
> >
> > Wenn wir das nach [mm]x_2[/mm] ableiten bekommen wir:
> >
> > [mm]g_{x_2}= u'(x_1^2+x_2^2)*2x_2^2+u(x_1^2+x_2^2)[/mm]
>
> Warum leitest du g nochmal nach [mm]x_2[/mm] ab?
Damit unser Mathegirl das Differenzieren übt. Kettenregel, Produktregel, etc .....
FRED
> Es ist doch
>
> [mm]\nabla*f := \summe_{i=1}^n\partial_i f_i[/mm]
>
> also [mm]\nabla*f = \partial_{x_1}(u(x_1^2+x_2^2)x_2) + \partial_{x_2}(-u(x_1^2+x_2^2)x_1)[/mm]
>
> [mm]..\qquad\qquad\quad = u'(x_1^2+x_2^2)2x_1x_2 \;+ -u'(x_1^2+x_2^2)2x_1x_2[/mm]
>
> [mm]..\qquad\qquad\quad = 0[/mm]
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