Divergenz nach Umordnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Habe folgende Aussage:
Beweise, dass die Reihe
1 - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}} [/mm] + ...
konvergiert, aber die durch Umordnung entstandene Reihe
1 + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{7}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{11}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}} [/mm] + ...
divergiert.
Das Erstere stellt sicher kein Problem dar, denn man kann die Reihe wie folgt umschreiben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Die Reihe konvergiert nach Leibniz offensichtlich.
Für die zweite Reihe habe ich auch das Bildungsgesetz gefunden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{\wurzel{4n-3}} + \bruch{1}{\wurzel{4n-1}} - \bruch{1}{\wurzel{2n}}\right)
[/mm]
Dann hab ich auch noch die erste Reihe umgeschrieben:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{\wurzel{2n-1}} - \bruch{1}{\wurzel{2n}}\right)
[/mm]
Bringt mich aber alles irgendwie nicht weiter... Ehrlich gesagt weiss ich auch garnicht, was ich überhaupt zeigen muss...
Ich hoffe mir kann wer helfen.
Vielen Dank
mfg
Berndte
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Hallo Berndte!
Ziel ist es zu zeigen, dass $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{\wurzel{4n-3}} + \bruch{1}{\wurzel{4n-1}} - \bruch{1}{\wurzel{2n}}\right) =\infty$. [/mm] Dazu benutzt du das Minorantenkriterium: Du findest eine Reihe mit kleineren Gliedern, die auch divergiert.
Weil [mm] $4n-1\le [/mm] 4n$ ist [mm] $\bruch{1}{\sqrt{4n-1}}\ge \bruch{1}{\sqrt{4n}}$. [/mm] Ebenso gilt [mm] $\bruch{1}{\sqrt{4n-3}}\ge \bruch{1}{\sqrt{4n}}$.
[/mm]
Damit hast du [mm] $\bruch{1}{\wurzel{4n-3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{4n-1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2n}}\ge \bruch{2}{\sqrt{4n}}-\bruch{1}{\sqrt{2n}}= \bruch{1}{\sqrt{n}}-\bruch{1}{\sqrt{2n}}=\bruch{1-1/\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$.
[/mm]
Weil die Reihe [mm] $\left(1-\bruch{1}{\sqrt{2}}\right)\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{\sqrt{n}}$ [/mm] divergiert, divergiert auch deine umgeordnete Reihe.
Sind dir alle Schritte klar? Hoffe, ich konnte dir weiterhelfen...
Gruß, banachella
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Super, alles klar!
Auf das Minorantenkriterium bin ich irgendwie garnicht gekommen, dachte es ist irgendwie komplizierter :)
Danke
mfg
Berndte
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