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Forum "Folgen und Reihen" - Divergenz einer Reihe zeigen
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Divergenz einer Reihe zeigen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 So 29.05.2005
Autor: Dr.Ufo

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Ich weiß, dass diese Reihe divergiert, aber da da die Folge trotzdem Nullfolge ist, weiß ich nicht wie ich die Divergenz zeigen soll!
[mm] \summe_{i=1}^{n}(2i+1)/(i*(i+1) [/mm]
        
Bezug
Divergenz einer Reihe zeigen: Umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 So 29.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Dr.Ufo,

[willkommenmr] !!

Ein kurzes "Hallo" von Deiner Seite wäre auch sehr nett ;-) ...


> [mm]\summe_{i=1}^{n}(2i+1)/(i*(i+1)[/mm]  

Du meinst sicher [mm]\summe_{i=1}^{\red{\infty}}\bruch{2i+1}{i*(i+1)}[/mm]  ?


Nun zerlegen wir doch einfach mal den Bruchterm:

[mm] $\bruch{2i+1}{i*(i+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2i}{i*(i+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{i*(i+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{i+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{i*(i+1)}$ [/mm]

Den hinteren Bruch kann man dann noch über eine Partialbruchzerlegung auflösen zu:

[mm] $\bruch{1}{i*(i+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{i} [/mm] + [mm] \bruch{B}{i+1}$ [/mm]


Hier erhalte ich $A \ = \ 1$ und $B \ = \ -1$


Das ganze kann man dann zusammenfassen und kann die Divergenz durch Abschätzung gegenüber z.B. der harmonischen Reihe zeigen (Minorantenkriterium).


Nun klar(er) ??

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Divergenz einer Reihe zeigen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 So 29.05.2005
Autor: Dr.Ufo

Hallo!!!

[mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i [/mm]  divergent ist mir klar, da das die geometrische Reihe ist!

Aber womit soll ich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/(i+1) [/mm] abschätzen, da wir nur das Majorantenkriterium hatten???

Kann ich dann außerdem daraus folgern das dann die komplette Summe divergent ist?

Danke schon mal!!!!
Bezug
                        
Bezug
Divergenz einer Reihe zeigen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 29.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Dr.Ufo!


> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/i[/mm]  divergent ist mir klar, da das
> die geometrische Reihe ist!

[notok] Das ist die harmonische Reihe!


> Aber womit soll ich [mm]\summe_{i=1}^{\infty}1/(i+1)[/mm]
> abschätzen, da wir nur das Majorantenkriterium hatten???

Wir können doch umschreiben:

[mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i+1} \ = \ \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{4} + ... \ = \ \summe_{i=2}^{\infty}\bruch{1}{\red{i}} \ = \ -1 + \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\red{i}}[/mm]


> Kann ich dann außerdem daraus folgern das dann die
> komplette Summe divergent ist?

[daumenhoch]


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Divergenz einer Reihe zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 So 29.05.2005
Autor: Dr.Ufo

Vielen Dank, jetzt hab ich das verstanden!
Bezug
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