Divergenz einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mo 13.10.2008 | | Autor: | alexwie |
| Aufgabe | Sei e [mm] \in [/mm] V = [mm] \IR^{3} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] e [mm] \parallel [/mm] = 1. Für ein fest gewähltes C [mm] \in \IR [/mm] gelte auf U = [mm] \IR^{3} [/mm] \ [mm] \IR*e [/mm] für das Vektorfeld B(p) = C* [mm] \bruch{e \times p}{\parallel e \times p \parallel ^2}.
[/mm]
Zeigen sie dass div(B)=0 und rot(B)=0
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Hallo! um dieses Beispiel zu lösen hab ich zuerst die Divergenz als
div(B) = C*(<grad( [mm] \bruch{1}{\parallel e \times p \parallel ^2}), [/mm] e [mm] \times [/mm] p >+ [mm] \bruch{div(e \times p)}{\paralell e \times p \paralell ^2}) [/mm] geschrieben. Nun bin ich mir nicht sicher wie ich weiter machen soll da ja über die Norm keine konkreten aussagen gemacht worden sind, ich also nicht von der euklidischen ausgehen kann und dann nicht weiß wie ich den gradienten von [mm] \bruch{1}{\parallel e \times p \parallel ^2} [/mm] berechne bzw die Divergenz von e [mm] \times [/mm] p.
Wär dankbar für jede Hilfe
Lg Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Mo 13.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei e [mm]\in[/mm] V = [mm]\IR^{3}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] e [mm]\parallel[/mm] = 1. Für
> ein fest gewähltes C [mm]\in \IR[/mm] gelte auf U = [mm]\IR^{3}[/mm] \ [mm]\IR*e[/mm]
> für das Vektorfeld B(p) = C* [mm]\bruch{e \times p}{\parallel e \times p \parallel ^2}.[/mm]
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> Zeigen sie dass div(B)=0 und rot(B)=0
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> Hallo! um dieses Beispiel zu lösen hab ich zuerst die
> Divergenz als
> div(B) = C*(<grad( [mm]\bruch{1}{\parallel e \times p \parallel ^2}),[/mm]
> e [mm]\times[/mm] p >+ [mm]\bruch{div(e \times p)}{\paralell e \times p \paralell ^2})[/mm]
> geschrieben. Nun bin ich mir nicht sicher wie ich weiter
> machen soll da ja über die Norm keine konkreten aussagen
> gemacht worden sind, ich also nicht von der euklidischen
> ausgehen kann und dann nicht weiß wie ich den gradienten
> von [mm]\bruch{1}{\parallel e \times p \parallel ^2}[/mm] berechne
> bzw die Divergenz von e [mm]\times[/mm] p.
Für die Divergenz brauchst du die Norm ja nicht. Setze einfach die Definition des Kreuzproduktes und der Divergenz in kartesischen Koordinaten ein, dann siehst du, dass die Divergenz von [mm] $e\times [/mm] p$ verschwindet.
Was die Norm betrifft, so würde ich an deiner Stelle mit der euklidischen Norm rechnen. Wenn du das nicht willst, bedenke, dass wegen der Rotationsinvarianz jede Norm die Form
[mm] \|x\| = f () [/mm]
mit einer skalaren Funktion f haben muss, also eine Funktion der euklidischen Norm ist. Daraus ergibt sich, dass der Gradient eine Linearkombination von $e$ und $p$ ist, also in der e-p-Ebene liegt. (Rechne es nach, wenn du unsicher bist, warum!) Da [mm] $e\times [/mm] p$ senkrecht zu dieser Ebene steht, ist dein Skalarprodukt auch 0.
Viele Grüße
Rainer
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