Divergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | a)Beweisen Sie mit vollstandiger Induktion die sogenannte Bernoulli-Ungleichung:
Fur x [mm] \in [/mm] R mit [mm] x\ge [/mm] -1 und n [mm] \in [/mm] N gilt (1 + [mm] x)^{n} \ge [/mm] 1 + nx.
b)Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung: Fur jede reelle Zahl q mit |q|>1
divergiert die Folge [mm] (q^{n}). [/mm] |
Guten Abend,
ich bin sehr froh, dass es euch gibt und vielen lieben Dank, dass es mir hier geholfen wird.
Wieder bräuchte ich Hilfe von euch.
Die Aufgabe a ist einfach, für b habe ich mit Widerspruchsbeweis probiert, weiß aber nicht, ob das ok wäre:
Angenommen [mm] (q^{n}) [/mm] konvergiert gegen 1, dann gilt [mm] q^{n}-1< \varepsilon, [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Sei x=|q|-1, dann ist |q|= x+1, für alle |q|>1
[mm] q^{n}=(x+1)^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow q^{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] +1
[mm] (x+1)^{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] +1
Sei [mm] \varepsilon [/mm] = xn >0,
dann folgt nach Bernoulli: [mm] (x+1)^{n} \ge [/mm] xn+1
was aber zu dem Widerspruch führt, da [mm] q^{n} [/mm] < xn+1.
|
|
| |
|
> a)Beweisen Sie mit vollstandiger Induktion die sogenannte
> Bernoulli-Ungleichung:
> Fur x [mm]\in[/mm] R mit [mm]x\ge[/mm] -1 und n [mm]\in[/mm] N gilt (1 + [mm]x)^{n} \ge[/mm]
> 1 + nx.
> b)Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung: Fur
> jede reelle Zahl q mit |q|>1
> divergiert die Folge [mm](q^{n}).[/mm]
>
> Guten Abend,
> ich bin sehr froh, dass es euch gibt und vielen lieben
> Dank, dass es mir hier geholfen wird.
> Wieder bräuchte ich Hilfe von euch.
> Die Aufgabe a ist einfach, für b habe ich mit
> Widerspruchsbeweis probiert, weiß aber nicht, ob das ok
> wäre:
-----------------------------------------------------
Zunächst: Ganz oft (aber nicht immer) ist es so, dass ein Aufgabenteil b) gelöst werden kann, wenn man das Ergebnis aus a) benutzt. Hier gilt das so!
Schreibe a=|q|>1. Was hat das mit a) zu tun? Dort gibt es den Ausdruck 1+x. Weil nun a>1 ist, kann man schreiben:
a=1+x mit x>0, also x>-1. Dann wird [mm] a^n [/mm] = [mm] (1+x)^n [/mm] ...(mach jetzt selber weiter)
----------------------------------------------------------
> Angenommen [mm](q^{n})[/mm] konvergiert gegen 1,
o.k. - und nun kommst du zu einem Widerspruch. Das bedeutet dann, dass [mm] q^n [/mm] nicht gegen 1 konvergiert, also vielleicht gegen 17 oder gegen 33 oder 6,5 oder ...
Deine Annahme ist also beweistechnisch sehr unproduktiv, denn du sollst ja zeigen, dass es gar nicht konvergiert.
dann gilt [mm]q^{n}-1< \varepsilon,[/mm]
> für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0.
> Sei x=|q|-1, dann ist |q|= x+1, für alle |q|>1
> [mm]q^{n}=(x+1)^{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow q^{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] +1
> [mm](x+1)^{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] +1
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] = xn >0,
> dann folgt nach Bernoulli: [mm](x+1)^{n} \ge[/mm] xn+1
> was aber zu dem Widerspruch führt, da [mm]q^{n}[/mm] < xn+1.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Jetzt ist mir klar mit dem Widerspruchsbeweis kann ich hier nicht machen.
Dann [mm] a^{n}=(1+x)^{n} \ge [/mm] 1+nx was aus a) folgt, verstehe aber nicht, wie ich die Divergenz der Folge zeigen sollte? Sollte ich einen Epsilon wählen oder weiter mit Bernoulli arbeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 So 04.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt ist mir klar mit dem Widerspruchsbeweis kann ich hier
> nicht machen.
> Dann [mm]a^{n}=(1+x)^{n} \ge[/mm] 1+nx was aus a) folgt, verstehe
> aber nicht, wie ich die Divergenz der Folge zeigen sollte?
Da x>0 ist und [mm]a^{n}=(1+x)^{n} \ge[/mm] 1+nx für jedes n gilt, ist [mm] (a^n) [/mm] unbeschränkt.
FRED
> Sollte ich einen Epsilon wählen oder weiter mit Bernoulli
> arbeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 So 04.05.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen Dank, eigentlich ist ganz einfach und genau da zweifelt man, weil es so einfach ist.
Gruß Gina
|
|
|
|
