Divergenz Wallissches Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mi 27.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe 1 | zeige: es gibt eine Zahl p mit [mm] \wurzel{2} \le [/mm] p [mm] \le [/mm] 2 so, daß gilt: [mm] p_n \simeq p\wurzel{n} [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] wobei das Wallissche Produkt [mm] p_n [/mm] := [mm] \bruch{2}{1} \cdot \bruch{4}{3} \cdot \bruch{6}{5}\cdot \cdot \cdot \bruch{2n}{(2n-1)}
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | zeige p = [mm] \wurzel{\pi} [/mm] |
Guten Morgen,
ich bin ziemlich irritiert, da im Königsberger Analysis 1 es für mich so aussieht, als würden relativ viele Zwischenschritte der Lösung weggelassen. Ich glaube zwar, es herausbekommen zu haben, frage mich aber, ob ich eine einfachere Vorgehensweise übersehen habe.
im Detail:
Königsberger zeigt für mich nachvollziehbar, daß [mm] \bruch {p_n} {\wurzel{n}} [/mm] einen Grenzwert p mit [mm] \wurzel{2} \le [/mm] p [mm] \le [/mm] 2 hat. Dann hört er auf. Daraus folgt für mich nicht automatisch, dass [mm] p_n \simeq p\wurzel{n} [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
es wäre noch zu zeigen: [mm] \limes_{n \to \infty} \left( \bruch{p \cdot \wurzel{n} }{p_n} \cdot \bruch {p_n}{\wurzel {n}} \right) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}p [/mm] = p
und da [mm] \limes_{n \to \infty} \left( \bruch{p \cdot \wurzel{n} }{p_n} \right) \cdot [/mm] p = p
folgt [mm] \limes_{n \to \infty} \left( \bruch{p \cdot \wurzel{n} }{p_n} \right) [/mm] = 1
Bei Aufgabe 2 bezieht sich Königsberger auf die Wallissche Produktfolge [mm] w_n:= \bruch{2\cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \bruch{4\cdot 4}{3 \cdot 5} \cdot \cdot \cdot \bruch{2n\cdot 2n}{(2n-1)\cdot (2n+1)} [/mm] = [mm] (p_n)^2 \cdot \bruch{1}{2n +1}
[/mm]
Nach dem Verweis auf ein späteres Kapitel mit dem Ergebnis [mm] \limes_{n \to \infty} w_n [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] folgert er ohne Zwischenschritt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{p^2}{2}
[/mm]
Mit fielen dazu nur folgende Zwischenschrittte ein:
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{p_n}{\wurzel{n}} [/mm] = p
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(p_n)^2}{n} [/mm] = [mm] p^2 [/mm] und da
[mm] \limes_{n \to \infty} \left( (p_n)^2 \cdot \bruch{1}{2n +1} \right) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] folgt
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{2n+1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{2p^2}{\pi} [/mm] und da [mm] \limes_{n \to \infty} \left( 2 + \bruch{1}{n} \right) [/mm] = 2 folgt 2 = [mm] \bruch{2p^2}{\pi}
[/mm]
Antonio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast alles richtig gemacht
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mi 27.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
vielen Dank, das freut mich.
Antonio
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