Divergenz, Rotion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Kreator |
| Aufgabe | Skizziere die Störmungslinien folgender 2 Vektorfelder und berechne die Rotation und die Divergenz der Felder (Vektoren in Zylinderkoordinaten):
[mm] v_{1}=(m/r, [/mm] 0, 0)
[mm] v_{2}=(0, [/mm] k/r, 0)
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Das Skizzieren der zwei Vektorfelder ist kein Problem, bei [mm] v_{1} [/mm] laufen die Strömungslinien vom Nullpunkt nach aussen und bei [mm] v_{2} [/mm] laufen die Strömungslinien kreisförmig konzentrisch zum Nullpunkt. Für die Rotation bzw. Divergenz erhalte ich folgende Werte:
[mm] rot(v_{1})=0, div(v_{1})=0
[/mm]
[mm] rot(v_{2})=0, div(v_{2})=0
[/mm]
Ich finde die Resultate jedoch überhaupt nicht logisch. Sollte nicht beim ersten Vektorfeld Divergenz beim Nullpunkt (alle Strömungslinien laufen von dort weg) und beim zweiten Vektorfeld Rotation auftreten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Fr 24.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Skizziere die Störmungslinien folgender 2 Vektorfelder und
> berechne die Rotation und die Divergenz der Felder
> (Vektoren in Zylinderkoordinaten):
>
> [mm]v_{1}=(m/r,[/mm] 0, 0)
> [mm]v_{2}=(0,[/mm] k/r, 0)
>
> Das Skizzieren der zwei Vektorfelder ist kein Problem, bei
> [mm]v_{1}[/mm] laufen die Strömungslinien vom Nullpunkt nach aussen
> und bei [mm]v_{2}[/mm] laufen die Strömungslinien kreisförmig
> konzentrisch zum Nullpunkt. Für die Rotation bzw. Divergenz
> erhalte ich folgende Werte:
>
> [mm]rot(v_{1})=0, div(v_{1})=0[/mm]
>
> [mm]rot(v_{2})=0, div(v_{2})=0[/mm]
>
> Ich finde die Resultate jedoch überhaupt nicht logisch.
> Sollte nicht beim ersten Vektorfeld Divergenz beim
> Nullpunkt (alle Strömungslinien laufen von dort weg) und
> beim zweiten Vektorfeld Rotation auftreten?
Du hast in deiner Rechnung nicht berücksichtigt, dass sowohl die beiden Vektorfelder als auch die Transformation zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten im Nullpunkt singulär sind. Die Divergenz von [mm] $v_1$ [/mm] ist nur für [mm] $r\not=0$ [/mm] gleich 0, ebenso die Rotation von [mm] $v_2$. [/mm] Für $r=0$ sind die Vektorfelder und ihre Ableitungen nicht definiert.
Viele Grüße
Rainer
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