Divergenz & Konver. von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich vorgehen muss:
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] \ {1} konvergiert bzw. divergiert die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch {x}{1-x})^{k}. [/mm] Geben sie bei Konvergenz den Grenzwert an.
Muss ich da eine Fallunterscheidung machen?
Danke für Tipps!
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Hallo bree_,
> Hallo,
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> ich weiß nicht wie ich vorgehen muss:
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> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] \ {1} konvergiert bzw. divergiert die
> Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch {x}{1-x})^{k}.[/mm] Geben
> sie bei Konvergenz den Grenzwert an.
>
> Muss ich da eine Fallunterscheidung machen?
Stichwort: geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k$, [/mm] die für $|q|<1$ konvergiert - wogegen? und für [mm] $|q|\ge [/mm] 1$ divergiert.
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> Danke für Tipps!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 28.05.2011 | | Autor: | bree_ |
Also ich hab rausbekommen für [mm] \bruch{x}{1-x}:
[/mm]
für -1 < x < 1: => 0
für [mm] -\infty [/mm] < x < 1 => 1
für 1< x <+ [mm] \infty [/mm] => -1
Also konvergiert sie ja immer gegen einen Wert. Ich verstehs irgendwie nicht, was ich da machen soll.
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Hallo,
du musst alle x-Werte bestimmen, für die
[mm]|\frac{x}{1-x}|<1[/mm]
gilt. Das ist eine Betragsungleichung, und da wird man wohl Fallunterscheidungen vornehmen müssen.
Gruß, Diophant
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