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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:07 Fr 13.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen.
Ich stehe leider wieder grad auf dem Schlauch und bräuchte eure Hilfe.
Die Situation ist die folgende:
Ich betrachte die Reihe [mm] $\summe_{t=1}^{\infty} a_t$.
[/mm]
Für [mm] $a_t$ [/mm] mit einer Konstante $C>0$ gilt: [mm] $a_t \ge exp(-{\bruch{C}{U(t)}})$ [/mm] für alle $t [mm] \in \IN$. [/mm] Dabei sei $U(t)$ eine echt positive, stetige Funktion, wobei [mm] $\limes_{t\rightarrow\infty}U(t) [/mm] = 0$.
Nun stellt sich die Frage, wie groß muss U(t) in jedem Schritt mindestens(!) sein, so dass $ [mm] \summe_{t=1}^{\infty} a_t [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] also die Reihe divergiert.
Leider fehlt mir die entscheidende Idee, weiß jemand weiter? Ich würd mich sehr freuen.
Viele Grüße, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Fr 13.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Dester,
> Die Situation ist die folgende:
> Ich betrachte die Reihe [mm]\summe_{t=1}^{\infty} a_t[/mm].
>
> Für [mm]a_t[/mm] mit einer Konstante [mm]C>0[/mm] gilt: [mm]a_t \ge exp(-{\bruch{C}{U(t)}})[/mm]
> für alle [mm]t \in \IN[/mm]. Dabei sei [mm]U(t)[/mm] eine echt positive,
> stetige Funktion, wobei [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}U(t) = 0[/mm].
Du kannst zu jeder positiven Folge [mm] $(a_t)_t$ [/mm] mit [mm] $\lim_{t\to\infty} a_t [/mm] = 0$ eine solche Funktion $U(t)$ finden mit [mm] $a_t \ge \exp(-\frac{C}{U(t)})$ [/mm] und [mm] $\lim_{t\to\infty} [/mm] U(t) = 0$. Waehle fuer $t [mm] \in \IN$ [/mm] einfach $U(t) = [mm] \frac{-C}{\log a_t}$ [/mm] und setze sie stetig fort (etwa indem du sie stueckweise affin-linear machst).
> Nun stellt sich die Frage, wie groß muss U(t) in jedem
> Schritt mindestens(!) sein, so dass [mm]\summe_{t=1}^{\infty} a_t = \infty[/mm],
> also die Reihe divergiert.
Mit meiner Bemerkung oben folgt: du fragst, wann eine allgemeine Reihe [mm] $\sum_{t=1}^\infty a_t$ [/mm] mit [mm] $a_t [/mm] > 0$ divergent ist. Ich glaube nicht, dass man dafuer ein ganz allgemeines Kriterium angeben kann.
Kann es sein, dass du eigentlich ein anderes (spezielleres) Problem hast? Nur weil es auf diese allgemeine Frage keine Antwort gibt, muss es nicht heissen dass es auf dein spezielles Problem nicht auch eine gibt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 13.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Ja, du hast recht, das Problem ist spezieller, leider würde es den Rahmen sprengen, es in jedem Detail darzulegen, aber hier evtl noch ein paar Zusatzinfos:
Die [mm] $a_i$ [/mm] sind Infima über die Dichte von Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zeitpunkt t nach t+1, also in etwa sowas [mm] $a_t= inf_{x,y} [/mm] p(x,y)$. Zuvor ist es gelungen zu zeigen, dass für diese $ [mm] a_t \ge exp(-{\bruch{C}{U(t)}}) [/mm] $ gilt.
Die Lösung ist mir bekannt:
In Beweisschritt heißt es dann, man sähe, dass die Divergenz sichergestellt sei, sofern $U(t) [mm] \ge \bruch{c}{log(1+t)}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Fr 13.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja, du hast recht, das Problem ist spezieller, leider
> würde es den Rahmen sprengen, es in jedem Detail
> darzulegen, aber hier evtl noch ein paar Zusatzinfos:
>
> Die [mm]a_i[/mm] sind Infima über die Dichte von
> Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zeitpunkt t nach
> t+1, also in etwa sowas [mm]a_t= inf_{x,y} p(x,y)[/mm]. Zuvor ist es
> gelungen zu zeigen, dass für diese [mm]a_t \ge exp(-{\bruch{C}{U(t)}})[/mm]
> gilt.
> Die Lösung ist mir bekannt:
> In Beweisschritt heißt es dann, man sähe, dass die
> Divergenz sichergestellt sei, sofern [mm]U(t) \ge \bruch{c}{log(1+t)}[/mm].
Daraus folgt [mm] $-\frac{C}{U(t)} \ge -\frac{C \log(1 + t)}{c}$, [/mm] also [mm] $a_t \g [/mm] (1 + [mm] t)^{-C/c}$.
[/mm]
Ist $C/c > 1$, so kann die Reihe sehr wohl konvergieren. Oder soll hier $c = C$ sein? Dann divergiert sie (harmonische Reihe).
Du kanst natuerlich eine beliebige divergente Reihe mit positiven Summanden nehmen und aus dieser eine Funktion $U(t)$ bestimmen; dann kannst du dieses $U(t)$ als untere Schranke nehmen, und alles was drueber liegt divergiert auch. So wurde das hier auch gemacht (mit Hilfe der harmonischen Reihe, falls $c = C$ ist).
Aber eine allgemeine untere Schranke gibt es halt nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Fr 13.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke für deine Antwort, das hilft mir schon etwas.
Es gilt nicht C=c, jedoch soll laut Paper c hinreichend groß sein (vermutlich c>C). Was mich an dieser Wahl noch irritiert: Es geht insbesondere darum U(t) möglichst schnell gegen Null konvergieren zu lassen, hier wird jedoch ein eher "langsames" U gewählt. Mir ist noch nicht ganz klar, warum diese Wahl schon recht strikt ist, also man U nicht noch wesentlich kleiner wählen kann für jedes t. Hast du dazu noch eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Fr 13.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Danke für deine Antwort, das hilft mir schon etwas.
>
> Es gilt nicht C=c, jedoch soll laut Paper c hinreichend
> groß sein (vermutlich c>C).
ja, wenn $c [mm] \ge [/mm] C$ ist, divergiert es definitiv. Allgemein kann man mit Hilfe des Integralkriteriums ueber [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] (k + [mm] 1)^{-\alpha}$ [/mm] aussagen: ist [mm] $\alpha \le [/mm] 1$, divergiert die Reihe, und ist [mm] $\alpha [/mm] > 1$, so konvergiert sie.
> Was mich an dieser Wahl noch
> irritiert: Es geht insbesondere darum U(t) möglichst
> schnell gegen Null konvergieren zu lassen, hier wird jedoch
> ein eher "langsames" U gewählt.
Je schneller $U(t)$ gegen 0 konvergiert, desto eher konvergiert [mm] $\sum_{t=0}^\infty \exp(-C [/mm] / U(t))$.
> Mir ist noch nicht ganz
> klar, warum diese Wahl schon recht strikt ist, also man U
> nicht noch wesentlich kleiner wählen kann für jedes t.
Wie meinst du das? Du musst es schon so waehlen, dass [mm] $\sum_{t=0}^\infty \exp(-C [/mm] / U(t))$ selber divergiert. Wenn du es kleiner waehlst, kann es passieren, dass die Reihe konvergiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Fr 13.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke nochmals.
> Wie meinst du das? Du musst es schon so waehlen, dass
> [mm]\sum_{t=0}^\infty \exp(-C / U(t))[/mm] selber divergiert. Wenn
> du es kleiner waehlst, kann es passieren, dass die Reihe
> konvergiert.
>
Genau das meint ich im Prinzip damit. Mir ist nur noch nicht ganz klar, warum bei dieser Wahl offenbar schon eine "recht gute untere Schranke", welche Divergenz sichert, gefunden wurde. Intuitiv hab ich in den Eindruck man könnte evtl U noch etwas kleiner wählen, tatsächlich wird mir das wahrscheinlich nicht gelingen.
Aber das hat mir schon geholfen nochmal gehört zu haben, dass es kein Verfahren gibt, um eine untere Schranke in dem Fall zu ermitteln.
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