Divergente Harmonische Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Do 08.03.2007 | | Autor: | Daox |
| Aufgabe | | Man untersuche die Reihe auf Kovergenz: [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{n^2}{n^3+1} [/mm] |
Wahrscheinlich eine etwas doofe Frage. Keins der Kriterien passt und Wurzelkriterien, etc erzuegen 1 und Minorantenkriterium ist auch nicht anwendbar. Könnte man aber sagen, dass es sich hier um eine harmonische Reihe mit Exponenten < 1 handelt, und dass es somit divergent ist?
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> Man untersuche die Reihe auf Kovergenz: [mm]\summe_{n=1}^{n} \bruch{n^2}{n^3+1}[/mm]
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> Wahrscheinlich eine etwas doofe Frage. Keins der Kriterien
> passt und Wurzelkriterien, etc erzuegen 1 und
> Minorantenkriterium ist auch nicht anwendbar. Könnte man
> aber sagen, dass es sich hier um eine harmonische Reihe mit
> Exponenten < 1 handelt, und dass es somit divergent ist?
Hallo Doax,
wieso Exponent < 1?
Ich würde sagen, Exponent = 1 
Beachte: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^3+1}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^2(n+\bruch{1}{n^2})}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n+\bruch{1}{n^2}}\ge\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n+n}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}=\bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm]
Das wäre die divergente Minorante
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 08.03.2007 | | Autor: | Daox |
achso, ist der Grenzwert einer harmonischen Reihe mit Exponent > 1 dann n?
die Formelsammlung hat mir das verschwiegen.
Wäre es auch möglich gleich z.B. [mm] 2*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] als divergente Minorante zu wählen?
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Hallo nochmal,
die harmonische Reihe ist doch [mm] \bold{divergent}, [/mm] schießt also über alle Grenzen hinaus, also kann weder 1 noch n ein Grenzwert sein.
Und wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] schon gegen [mm] \infty [/mm] strebt, so sicherlich auch [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] 2\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm]
Der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bot sich nur als relativ einfache Abschätzung an.
Man kann den Zähler in [mm] \bruch{1}{n+\bruch{1}{n^2}} [/mm] ja auch gröber abschätzen, etwa durch [mm] \bruch{1}{n+\bruch{1}{n^2}}\ge\bruch{1}{3n} [/mm] oder [mm] \ge\bruch{1}{10n}
[/mm]
Hauptsache man bekommt die divergente Minorante "harmonische Reihe" raus, die auch durch Multiliktion mit einer beliebigen reellen Zahl [mm] \ne [/mm] 0 immer noch divergiert.
Gruß
schachuzipus
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