Diskriminante kub. Polynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:24 Di 21.06.2016 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\alpha\in\mathbb{C}$ [/mm] mit [mm] $\alpha^3-\alpha^2-2\alpha-2=0$, [/mm] sei [mm] $K:=\mathbb{Q}(\alpha)$. [/mm] Berechne die Diskriminante von [mm] $\mathbb{Z}[\alpha]$ [/mm] und zeige [mm] $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$. [/mm] |
Guten Tag zusammen,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und hänge leider ein wenig.
Was ich bereits gezeigt habe ist, dass [mm] $p:=X^3-X^2-2\alpha-2\in\mathbb{Z}[X]$ [/mm] irreduzibel, also Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ist. Damit erhalte ich eine Basis [mm] $B:=\{1,\apha,\alpha^2\}$ [/mm] von $K$ als [mm] $\mathbb{Q}$-Vektorraum.
[/mm]
Wenn es nun aber um die Berechnung der Diskriminante geht, weiß ich leider nicht weiter. Ich habe außer [mm] $\alpha$ [/mm] ja keine der 3 NST von $p$ gegeben.
Wenn ich die Diskriminante über die Basis $B$ berechnen will, dann benötige ich ja die 3 Einbettungen [mm] $\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}$ [/mm] von $K$ in [mm] $\mathbb{C}$. [/mm] Jedoch weiß ich nicht genau, wie diese hier aussehen.
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank und viele Grüße
DerBaum
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:24 Mi 22.06.2016 | | Autor: | DerBaum |
Also die Diskriminante konnte ich inzwischen berechnen. Ich habe es über die Spur der Elemente der Basis gemacht.
Nun habe ich allerdings noch eine Frage zum zweiten Teil: [mm] $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$.
[/mm]
Ich hatte mit gedacht, dass ich es über die Formel
[mm] $$d(\mathbb{Z}[\alpha])=[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\alpha]]^2d(K).$$
[/mm]
Da nun [mm] MinPol($\alpha,\mathbb{Z}$)=MinPol($\alpha,\mathbb{Q}$) [/mm] gilt doch [mm] $d(K)=d($MinPol($\alpha,\mathbb{Q}$)=$d($MinPol($\alpha,\mathbb{Z}$)=$d(\mathbb{Z}[\alpha])$ [/mm] und damit [mm] $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\alpha]]^2=1$?
[/mm]
Stimmen meine überlegungen so?
Vielen Dank und viele Grüße
DerBaum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 23.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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