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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Diskretes Maximumsprinzip
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Diskretes Maximumsprinzip: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:45 Fr 11.12.2009
Autor: MichiNes

Aufgabe
Sei T eine (nxn)-Matrix mit lauter Zweier auf der Hauptdiagonalen und nur -1 auf den beiden Nebendiagonalen.
Es sei [mm] f=(f_{1},...,f_{n})^{t} \in \IR^{n} [/mm] gegeben und [mm] u=(u_{1},...,u_{n})^{t} \in \IR^{n} [/mm] sei die Lösung des linearen Gleichungssystems Tu=f.

Zeigen Sie: Falls [mm] f_{i} \le [/mm] 0 für alle i=1,...,n, sog gilt [mm] max_{i=1,...,n}u_{i} \le [/mm] 0

Hallo,
ich komm bei obiger Aufgabe nicht weiter. Wie kann ich das zeigen? Da muss ich ja das LGS irgendwie lösen und dann zeigen, dass unter gegebener Bedingung die [mm] u_{i} [/mm] alle kleiner oder gleich Null sind. Kann ich da zum Beispiel das Gesamtschrittverfahren anwenden?

Danke schon mal für Eure Hilfe!

Gruß Michi

        
Bezug
Diskretes Maximumsprinzip: Idee, Bitte um Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Fr 11.12.2009
Autor: MichiNes

Also ich habe mir mal eine Lösungsskizze zurechtgelegt und wollt mal fragen, ob das so theoretisch möglich ist:
Zuallererst habe ich die Matrix als L+U+D geschrieben, wobei D Diagonalmatrix ist, L eine Matrix mit nur -1 auf der unteren Nebendiagonalen, U eine Matrix mit nur -1 auf der oberen Nebendiagonalen.
Dann könnte ich ja prüfen, ob [mm] \rho(D^{-1}(L+U))<1 [/mm] ist, also ob das Gesamtschrittverfahren (oder auch Jacobi-Verfahren) konvergiert. Falls das der Fall ist, hätte ich ja als iterative Lösung des Gleichungssystems folgendes:
[mm] u_{i}^{(m+1)}=\bruch{1}{T_{ii}}(-\summe_{i=1, i\not=j}^{n}T_{i,j}u_{j}^{(m)}+f_{i}) [/mm]
Dann kann man ja verwenden, dass [mm] \summe_{i=1, i\not=j}^{n}T_{i,j}u_{j}^{(m)} [/mm] ja nur 2 Summanden hat, nämlich [mm] -u_{i-1} [/mm] und [mm] -u_{i+1}. [/mm] Außerdem ist [mm] T_{ii}=2 [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}.
Und dann kann man ja vielleicht irgendwie unter der Annahme, dass [mm] f_{i} \le [/mm] 0 zeigen, dass auch [mm] max_{i=1,...,n}u_{i} \le [/mm] 0.
Ist das der richtige Lösungsweg? Auf was muss ich dabei noch achten, was ich vielleicht hier jetzt vergessen hab?

Danke schon mal für die Hilfe!

Gruß Michi

Bezug
        
Bezug
Diskretes Maximumsprinzip: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 15.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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