Diskrete Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Mi 12.12.2007 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Es seien X,Y zwei diskrete Zufallsvariablen.
Es gilt für alle [mm] s,t \in \mathbb R[/mm]:
[mm]P[X \leq s,Y \leq t] = P[X \leq s] P[Y \leq t][/mm]
Zeigen sie, dass daraus schon folgt:
Für alle [mm]x \in X(\omega)[/mm] und [mm]y \in Y(\omega)[/mm] gilt:
[mm]P[X=x,Y=y]=P[X=x]P[Y=y][/mm] |
Hallo zusammen,
eigentlich sind beide Richtungen zu zeigen aber die eine richtung hab ich hinbekommen. Bleibt nur noch die da oben und da weiß ich nicht so recht weiter...
Meine Idee dazu ist folgende:
[mm]P[X=x,Y=y]=P[X \leq x,Y\leq y] - P[X
Darf ich das so machen oder geht das so nicht.. Bin leider auf keine andere Möglichkeit gekommen :(
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Mi 12.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marc,
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> Meine Idee dazu ist folgende:
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> [mm]P[X=x,Y=y]=P[X \leq x,Y\leq y] - P[X
>
>
>
Deine letzte Gleichung verstehe ich nicht. Angenommen, zwei Wuerfel
werden geworfen. Sei X bzw. Y der jeweilige Ausgang. Dann ist
[mm] $P(X\le 3)P(Y\le 3)-P(X<3)P(Y<3)=(1/2)^2-(1/3)^2=5/36\ne [/mm] 1/36=P(X=3)P(Y=3)$.
Ausserdem stimmt deine erste Gleichung nicht. Es ist vielmehr
$P(X= [mm] x,Y=y)=P(X\le x,Y\le [/mm] y)- P(X< [mm] x,Y\le y)-P(X\le [/mm] x,Y< y)+P(X<x,Y< y)$,
was du zeigen solltest. Das aber sollte dir dann weiterhelfen.
vg Luis
PS: Nutze aus, dass beispielsweise gilt [mm] $P(X
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 12.12.2007 | | Autor: | marcsn |
Hi Luis,
leider komme ich immer noch nicht weiter... Glaub ich mach da wohl was grundlegendes falsch ?!
Hab das nun so probiert nach deinem Tipp:
[mm] P(X= x,Y=y)=P(X\leq x,Y\leq y)- P(X< x,Y\leq y)-P(X\le x,Y< y)+P(X
[mm]=P(X\leq x,Y\leq y)- \lim_{0
[mm]=F_X(x)F_Y(y)-\lim_{0
[mm]=...= 0 = P[X=x]P(Y=y][/mm]
Hab das jetzt einfach straight so aufgeschrieben obwohl ich da selbst nicht ganz dran glaube aber naja... meine Hoffnung ist das für reelwertige Zufallsvariable X gilt : P[X=x] = 0.
Aber mal im ernst wie gehe ich denn da richtig vor?
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 12.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hi Marc,
z.B. ist [mm] $\lim_{0
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mi 12.12.2007 | | Autor: | marcsn |
Hi nochmal :)
Ach moment mal kann es seien das die Lösung des Problems wieder in dem Schritt besteht, den du mir anfangs gegeben hast ? Kann ich also:
[mm]P[X\le x]P[Y\leq y] - P[X < x]P[Y \leq y] - P[X \leq x]P[Y
Dies kann man direkt zusammenfassen zu:
P[X=x]P[Y=y]
Bin da garnicht drauf gekommen weil ich zugeben muss, dass ich es immer noch nicht sehe das der erste Schritt von dir gilt. Hast du nen Tipp wie ich mir das klar machen kann für mich ?
Gruß
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Do 13.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ach moment mal kann es seien das die Lösung des Problems
> wieder in dem Schritt besteht, den du mir anfangs gegeben
> hast ? Kann ich also:
>
>
>
> [mm]P[X\le x]P[Y\leq y] - P[X < x]P[Y \leq y] - P[X \leq x]P[Y
>
> Dies kann man direkt zusammenfassen zu:
>
> P[X=x]P[Y=y]
Hallo Marc,
ja, genau so war das gemeint.
>
> Bin da garnicht drauf gekommen weil ich zugeben muss, dass
> ich es immer noch nicht sehe das der erste Schritt von dir
> gilt. Hast du nen Tipp wie ich mir das klar machen kann für
> mich ?
>
Diese Frage habe ich befuerchtet. Ich versuche mich mal an [mm] $\lim_{0
Ich weiss nicht, inwieweit du mit der Analysis vertraut bist. Es genuegt
naemlich zu zeigen, dass [mm] $F(x-a_n)$ [/mm] gegen $P(X<x)$ konvergiert fuer jede
Nullfolge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n<0$.
[/mm]
Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine derartige Nullfolge. Ich zeige zunaechst [mm] $\bigcup_{n=1}^\infty (X\le x-a_n)=(X
Offenbar gilt [mm] $(X\le x-a_n)\subset [/mm] (X<x)$ fuer jedes $n$. Fuer die Umkehrung sei [mm] $\omega \in(X
Dann ist [mm] $X(\omega)
[mm] $\omega\in(X\le x-a_k)\subset\bigcup_{n=1}^\infty (X\le x-a_n)$.
[/mm]
Betrachte die Folge [mm] $(A_k)$ [/mm] mit [mm] $A_k=\bigcup_{n=1}^k (X\le x-a_n)$. [/mm]
Fuer sie ist [mm] $A_1\subset A_2\subset A_3\subset [/mm] ...$. Nach
einem bekannten (?) Satz (um nicht zu sagen Bauernregel) folgt
[mm] $\lim_{k\to\infty}F(x-a_k)=\lim_{k\to\infty}P(A_k)=P(\bigcup_{n=1}^\infty (X\le x-a_n))=P(X
Verstehst du jetzt, dass ich deine Nachfrage gefuerchtet habe? Du
ersparst einem auch gar nichts. 
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Do 13.12.2007 | | Autor: | marcsn |
Japp ich versteh deine Befürchtung :)
Hätte nicht gedacht, dass dies solch einen Umfang annehmen würde!
Vielen Dank für deine Ausführungen !
Gruß
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Fr 14.12.2007 | | Autor: | koi |
Hallo!
Ich höre auch grade in Münster Stochastik, muss also die gleiche Aufgabe bearbeiten.
Ich hab mir die Aufgabe noch nicht genau angeschaut, aber unser Übungsgruppenleiter hat uns für diese Beweisrichtung den Tipp gegeben zusätzlich vorauszusetzten, dass
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] Im X [mm] \exists [/mm] a < x, a [mm] \in [/mm] Im X, so dass (a,x) [mm] \cap [/mm] Im X = [mm] \emptyset
[/mm]
analog für Y
da man so der Grenzwertbetrachtung aus dem Weg gehen kann.
Und dann eben P(X=x) = P(X [mm] \le [/mm] x) - P(X [mm] \le [/mm] a) zu benutzen.
Wie gesagt, habs selber noch nicht ausprobiert, aber vielleicht hilft das ja, das Problem von oben zu klären.
Grüße
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