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Diskrete Metrik: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 So 09.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo zusammen

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei X eine nichtleere Menge und d die diskrete Metrik auf X. Bestimme alle offenen und abgeschlossenen Mengen von X.

Also die diskrete Metrik ist ja:
[mm] d(x,y):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x\not=y \end{cases} [/mm]

Wie soll ich jetzt alle Mengen bestimmen die offenen und abgeschlossen sind?

        
Bezug
Diskrete Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 09.03.2014
Autor: Sax

Hi,

überlege dir Folgendes:

Wenn [mm] M\subseteq [/mm] X ist und [mm] x\in [/mm] M, welche Elemente liegen dann in [mm] U_{\bruch{1}{2}}(x) [/mm] ? Wieso ist M dann offen ? Was folgt daraus für abgeschlossenen Mengen ?

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Diskrete Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 So 09.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo Sax

> Hi,
>  
> überlege dir Folgendes:
>  
> Wenn [mm]M\subseteq[/mm] X ist und [mm]x\in[/mm] M, welche Elemente liegen
> dann in [mm]U_{\bruch{1}{2}}(x)[/mm] ? Wieso ist M dann offen ? Was
> folgt daraus für abgeschlossenen Mengen ?
>  

Was meinst du genau mit [mm] U_{\bruch{1}{2}}(x)? [/mm]
Meinst du damit die offene Kugel um x?



> Gruß Sax.


Bezug
                        
Bezug
Diskrete Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 So 09.03.2014
Autor: Sax

Hi,

ja.

Die offene Kugel mit Radius 0,5 ist gemeint.

Gruß Sax.

Bezug
                                
Bezug
Diskrete Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 So 09.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo Sax

Also wir haben die offene Kugel definiert als:
[mm] B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
Somit liegen doch alle Elemente in [mm] B_{\bruch{1}{2}} [/mm] für die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei [mm] x\not=y [/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel handelt??
Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?


Bezug
                                        
Bezug
Diskrete Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 So 09.03.2014
Autor: Sax

Hi,

> Hallo Sax
>
> Also wir haben die offene Kugel definiert als:
> [mm]B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
>  
> Somit liegen doch alle Elemente in [mm]B_{\bruch{1}{2}}[/mm] für
> die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei
> [mm]x\not=y[/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?

Das ist richtig, man kann es noch etwas prägnanter formulieren : B={x}.

> M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel
> handelt??

Nein, M ist deshalb offen, weil die offene Kugel B ganz in M enthalten ist.
Weißt du, dass wir gerade bewiesen haben, dass jede Teilmenge M von X offen ist ?

>  Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?

Die Frage muss lauten : "Wann ist eine Menge abgeschlossen ?"
Die Antwort heißt "Sie ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist."

>  

Mit dem, was wir oben gezeigt haben, folgt also : "..."

Gruß Sax.

Bezug
                                                
Bezug
Diskrete Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 So 09.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo Sax

Erstmals vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

> Hi,
>  
> > Hallo Sax
> >
> > Also wir haben die offene Kugel definiert als:
> > [mm]B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
>  >  
> > Somit liegen doch alle Elemente in [mm]B_{\bruch{1}{2}}[/mm] für
> > die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei
> > [mm]x\not=y[/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
>
> Das ist richtig, man kann es noch etwas prägnanter
> formulieren : B={x}.
>  
> > M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel
> > handelt??
>  
> Nein, M ist deshalb offen, weil die offene Kugel B ganz in
> M enthalten ist.
>  Weißt du, dass wir gerade bewiesen haben, dass jede
> Teilmenge M von X offen ist ?


Ja, denn M ist offen [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 (z.B. [mm] \varepsilon=0.5): B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] M


>  
> >  Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?

>  
> Die Frage muss lauten : "Wann ist eine Menge abgeschlossen
> ?"
>  Die Antwort heißt "Sie ist abgeschlossen, wenn ihr
> Komplement offen ist."

Ja, und was folgt jetzt für M?


>  >  
> Mit dem, was wir oben gezeigt haben, folgt also : "..."
>

???


> Gruß Sax.


Bezug
                                                        
Bezug
Diskrete Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Mo 10.03.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Sax
>  
> Erstmals vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
>
> > Hi,
>  >  
> > > Hallo Sax
> > >
> > > Also wir haben die offene Kugel definiert als:
> > > [mm]B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
>  >  >  
> > > Somit liegen doch alle Elemente in [mm]B_{\bruch{1}{2}}[/mm] für
> > > die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei
> > > [mm]x\not=y[/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
> >
> > Das ist richtig, man kann es noch etwas prägnanter
> > formulieren : B={x}.
>  >  
> > > M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel
> > > handelt??
>  >  
> > Nein, M ist deshalb offen, weil die offene Kugel B ganz in
> > M enthalten ist.
>  >  Weißt du, dass wir gerade bewiesen haben, dass jede
> > Teilmenge M von X offen ist ?
>  
>
> Ja, denn M ist offen [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > 0 (z.B. [mm]\varepsilon=0.5): B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] M

ja, oder so: Ihr habt gezeigt, dass einelementige Mengen offen sind.
Bekanntlich sind beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen,
so dass für jedes $M [mm] \subseteq [/mm] X$ (bzw. $M [mm] \in \text{Pot}(X)$) [/mm] wegen

    [mm] $M=\bigcup_{x \in M}\{x\}$ [/mm]

folglich [mm] $M\,$ [/mm] offen sein muss.

> > >  Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?

>  >  
> > Die Frage muss lauten : "Wann ist eine Menge abgeschlossen
> > ?"
>  >  Die Antwort heißt "Sie ist abgeschlossen, wenn ihr
> > Komplement offen ist."
>  
> Ja, und was folgt jetzt für M?

Wir wissen bereits, dass JEDE Menge

    $R [mm] \subseteq [/mm] X$

OFFEN sein muss. Nun wollen wir wissen, welche $M [mm] \subseteq [/mm] X$ denn abgeschlossen
sind:

Dazu schauen wir uns

    [mm] $M^c:=X \setminus [/mm] M$

an. Offenbar ist

    [mm] $\underbrace{M^c}_{\widehat{\,=\,}\,R} \subseteq [/mm] X$

dann auch offen - also ist (jede Menge) $M [mm] \subseteq [/mm] X$ sowohl ... als auch ...

P.S. Du kannst auch mit Folgen argumentieren: Sei $M [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Eine Menge
[mm] $M\,$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge, die in [mm] $X\,$ [/mm] konvergiert,
ihren Grenzwert schon in [mm] $M\,$ [/mm] hat.

Seien also [mm] $x_n \in [/mm] M$ mit [mm] $x_n \to [/mm] x [mm] \in X\,.$ [/mm] Zeige, dass dann [mm] $x_n$ [/mm] ab einem genügend
großen Index konstant sein muss. Da alle [mm] $x_n \in [/mm] M$ sind, folgt daraus
sofort $x [mm] \in M\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Diskrete Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mo 10.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo Marcel

Vielen Dank für deine Antwort!

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