Disjunktive Normalform < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mo 26.01.2009 | | Autor: | lill |
| Aufgabe | Seien A, B, C Mengen, $G = A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C$ Grundmenge und [mm] $T\,=\,A\cup (\overline{A}\cap B)\cup(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
a) Wandeln Sie den Term T algebraisch in disjunktive Normalform um.
b) Wie lautet die kürzeste (d.h. mit einem Minimum an Zeichen) schreibbare Form von T. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komm bei der Aufgabe a) mitm Umformen einfach nicht weiter :( wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
a)
[mm] $A\cup (\overline{A}\cap B)\cup(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,((A\cup \overline{A})\cap(A\cup B))\cup(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,A\cup B\cup(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,((A\cup\overline{A})\cap(A\cup\overline{B})\cap(A\cup C))\cup B\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,((A\cup\overline{B})\cap(A\cup C))\cup B\cup (\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,((A\cup\overline{B})\cap A)\cup((A\cup\overline{B})\cap C)\cup B\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,(A\cap A)\cup(\overline{B}\cap A)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\cup B\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
[mm] $=\,A\cup B\cup(\overline{B}\cap A)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\cup(\overline{A}\cap [/mm] B)$
ist das bis hierher so korrekt? bzw. komm ich so bis zur DNF?
Gruß lill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Di 27.01.2009 | | Autor: | Kalyma |
Hallo lill,
aus der Definition der DNF musst du alle Terme so darstellen,
daß alle Eingangsvariablen darin enthalten sind. Das heisst in deinem Fall,
das jeder Term der DNF aus der Konjunktion der Variablen A, B und C, die
entweder negiert oder nicht negiert auftreten.
Du musst also den Term A in eine Form z.B. A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap \neg [/mm] C bringen
und zwar mit dem Theorem a [mm] \cap [/mm] (b [mm] \cup \neg [/mm] b) = a
In diesem Fall: A = A [mm] \cap ((\neg [/mm] B [mm] \cap \neg [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)) = (A [mm] \cap \neg [/mm] B [mm] \cap \neg [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
Wenn du so alle Terme umgewandelt hast, musst du nur noch alle doppelten und mehrfachen Terme, ausser einen, streichen.
Für b) musst du das Karnaugh-Veitch-Diagramm verwenden, und so den
Term auf die möglichst kleinste Form zu bringen.
Folgender Link erklärt die Reduzierung mittels KV-Diagramme
![[]](/images/popup.gif) Karnaugh-Veitch-Diagramme bei Wikipedia
Viel Glück damit,
Kalyma
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