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| Aufgabe | Es sei [mm] $D_n(t):=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^n e^{ikt}$ [/mm] und [mm] $F_n(t):=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} D_k(t)$ [/mm] der n-te Dirichlet bzw. der n-te Fejer-Kern.
Zeigen Sie:
a) [mm] $D_n$ [/mm] und [mm] $F_n$ [/mm] sind [mm] $2\pi$ [/mm] periodische [mm] $C^{\infty}$ [/mm] Funktionen mit
[mm] $\int_0^{2\pi} D_n(t)\, dt=\int_0^{2\pi} F_n(t)\, [/mm] dt=1$
b) Es gilt [mm] $D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(n+\frac12)t}{\sin(\frac{t}2)}$ [/mm] und [mm] $F_n(t)=\frac{1}{2\pi\cdot n}\frac{\sin(\frac{nt}{2})^2}{\sin(\frac{t}{2})^2}$ [/mm] sowie [mm] $F_n\geq [/mm] 0$
c) Für jedes [mm] $\delta>0$ [/mm] konvergiert die Funktionenfolge [mm] $F_n$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $[\delta,2\pi-\delta]$ [/mm] gleichmäßig gegen 0. Was ist [mm] $F_n(0)$? [/mm] |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
zu a)
[mm] $D_n$ [/mm] und [mm] $F_n$ [/mm] sind [mm] $2\pi$-periodische $C^{\infty}$-Funktionen.
[/mm]
Ich muss also etwa zeigen, dass [mm] $D_n(t)=D_n(t+2\pi)$ [/mm] dies ist auch nicht weiter schwer, wegen [mm] $e^{ik(t+2\pi)}=\cos(kt+2\pi k)+i\sin(kt+2\pi [/mm] k)$
Cosinus und Sinus sind [mm] $2\pi-periodisch$, [/mm] also
[mm] $\cos(kt+2\pi k)+i\sin(kt+2\pi k)=\cos(kt)+i\sin(kt)=e^{ikt}$
[/mm]
Für [mm] $F_n$ [/mm] analog.
Das es sich um [mm] $C^{\infty}$-Funktionen [/mm] handelt folgt daraus, dass Sinus und Cosinus (und deren Summe) [mm] $C^{\infty}$ [/mm] Funktionen sind.
Die endliche Summe macht hier keine Probleme.
Schwierigkeiten bereitet mir die Berechnung der Integrale:
[mm] $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sum_{k=-n}^n e^{ikt}\, [/mm] dt$
Es müsste doch wie folgt funktionieren:
Ich bestimme die Stammfunktion, von [mm] $\sum_{k=-n}^n e^{ikt}\, [/mm] dt$.
Das ist [mm] $\sum_{k=-n}^{n} \frac{1}{ik}e^{ikt}$.
[/mm]
Berechnet man das Integral, setzt also [mm] $2\pi$ [/mm] und $0$ ein, so fällt auf, dass für [mm] $2\pi$ [/mm] immer der Wert 1 angenommen wird, wegen der Eulerschen Identität. Für 0 natürlich auch. Die Summanden Annulieren sich also entsprechend.
Der einzige interessante Summand ist der für k=0, welcher 1 ist und dessen "Stammfunktion" t. So erhält man als Ergebnis des Integrals [mm] $2\pi$ [/mm] und im Endeffekt 1.
Korrekt?
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:03 Mi 30.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]D_n(t):=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-n}^n e^{ikt}[/mm] und
> [mm]F_n(t):=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} D_k(t)[/mm] der n-te
> Dirichlet bzw. der n-te Fejer-Kern.
>
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]D_n[/mm] und [mm]F_n[/mm] sind [mm]2\pi[/mm] periodische [mm]C^{\infty}[/mm] Funktionen
> mit
>
> [mm]\int_0^{2\pi} D_n(t)\, dt=\int_0^{2\pi} F_n(t)\, dt=1[/mm]
>
> b) Es gilt
> [mm]D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(n+\frac12)t}{\sin(\frac{t}2)}[/mm]
> und [mm]F_n(t)=\frac{1}{2\pi\cdot n}\frac{\sin(\frac{nt}{2})^2}{\sin(\frac{t}{2})^2}[/mm]
> sowie [mm]F_n\geq 0[/mm]
>
> c) Für jedes [mm]\delta>0[/mm] konvergiert die Funktionenfolge [mm]F_n[/mm]
> auf dem Intervall [mm][\delta,2\pi-\delta][/mm] gleichmäßig gegen
> 0. Was ist [mm]F_n(0)[/mm]?
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
>
> zu a)
>
> [mm]D_n[/mm] und [mm]F_n[/mm] sind [mm]2\pi[/mm]-periodische [mm]C^{\infty}[/mm]-Funktionen.
>
> Ich muss also etwa zeigen, dass [mm]D_n(t)=D_n(t+2\pi)[/mm] dies ist
> auch nicht weiter schwer, wegen [mm]e^{ik(t+2\pi)}=\cos(kt+2\pi k)+i\sin(kt+2\pi k)[/mm]
>
> Cosinus und Sinus sind [mm]2\pi-periodisch[/mm], also
>
> [mm]\cos(kt+2\pi k)+i\sin(kt+2\pi k)=\cos(kt)+i\sin(kt)=e^{ikt}[/mm]
>
> Für [mm]F_n[/mm] analog.
>
> Das es sich um [mm]C^{\infty}[/mm]-Funktionen handelt folgt daraus,
> dass Sinus und Cosinus (und deren Summe) [mm]C^{\infty}[/mm]
> Funktionen sind.
> Die endliche Summe macht hier keine Probleme.
>
> Schwierigkeiten bereitet mir die Berechnung der Integrale:
>
> [mm]\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sum_{k=-n}^n e^{ikt}\, dt[/mm]
>
> Es müsste doch wie folgt funktionieren:
>
> Ich bestimme die Stammfunktion, von [mm]\sum_{k=-n}^n e^{ikt}\, dt[/mm].
>
> Das ist [mm]\sum_{k=-n}^{n} \frac{1}{ik}e^{ikt}[/mm].
Vorsicht bei k=0 !!!
>
> Berechnet man das Integral, setzt also [mm]2\pi[/mm] und [mm]0[/mm] ein, so
> fällt auf, dass für [mm]2\pi[/mm] immer der Wert 1 angenommen
> wird, wegen der Eulerschen Identität. Für 0 natürlich
> auch. Die Summanden Annulieren sich also entsprechend.
> Der einzige interessante Summand ist der für k=0, welcher
> 1 ist und dessen "Stammfunktion" t. So erhält man als
> Ergebnis des Integrals [mm]2\pi[/mm] und im Endeffekt 1.
>
> Korrekt?
Kann man so lassen
Fred
>
> Vielen Dank im voraus.
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> Vorsicht bei k=0 !!!
Ja, das habe ich in obiger Rechnung nicht beachtet. Ich habe es nun sauberer notiert.
Wenn ich zeigen möchte, dass es sich um [mm] $C^{\infty}$-Funktionen [/mm] handelt hätte ich noch eine Frage.
Wenn ich die Darstellung [mm] $e^{ikt}=\cos(kt)+i\sin(kt)$ [/mm] benutze, und dann argumentiere, dass Sinus wie auch Cosinus [mm] $C^{\infty}$-Funktionen [/mm] sind und damit auch die Summe, bin ich ja fertig.
Ich finde das nur ehrlich gesagt unschön aufgeschrieben. Gibt es hier vielleicht eine elegantere Art?
Zu [mm] $\int_{0}^{2\pi} F_n(t)\, [/mm] dt=1$
[mm] $\int_{0}^{2\pi} F_n(t)\, dt=\frac{1}{2n\pi}\int_{0}^{2\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}\, [/mm] dt$
Werte ich die innere Summe für ein festes k aus, so hängt der entstehende Term von dem k nicht mehr ab. Die äußere Summe addiert den entstandenen Term also nur noch n-mal auf und man erhält:
[mm] $\frac{1}{2n\pi}\int_{0}^{2\pi} n\sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}\, dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}\, dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} D_k(t)\, [/mm] dt=1$
Wenn ich mich nicht irre.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Do 31.12.2015 | | Autor: | hippias |
> > Vorsicht bei k=0 !!!
>
> Ja, das habe ich in obiger Rechnung nicht beachtet. Ich
> habe es nun sauberer notiert.
>
> Wenn ich zeigen möchte, dass es sich um
> [mm]C^{\infty}[/mm]-Funktionen handelt hätte ich noch eine Frage.
>
> Wenn ich die Darstellung [mm]e^{ikt}=\cos(kt)+i\sin(kt)[/mm]
> benutze, und dann argumentiere, dass Sinus wie auch Cosinus
> [mm]C^{\infty}[/mm]-Funktionen sind und damit auch die Summe, bin
> ich ja fertig.
> Ich finde das nur ehrlich gesagt unschön aufgeschrieben.
> Gibt es hier vielleicht eine elegantere Art?
Das ist schon in Ordnung. Es genügt auch zu sagen, dass [mm] $e^{ikt}\in C^{\infty}$.
[/mm]
>
> Zu [mm]\int_{0}^{2\pi} F_n(t)\, dt=1[/mm]
>
>
> [mm]\int_{0}^{2\pi} F_n(t)\, dt=\frac{1}{2n\pi}\int_{0}^{2\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}\, dt[/mm]
>
> Werte ich die innere Summe für ein festes k aus, so hängt
> der entstehende Term von dem k nicht mehr ab. Die äußere
> Summe addiert den entstandenen Term also nur noch n-mal auf
> und man erhält:
>
> [mm]\frac{1}{2n\pi}\int_{0}^{2\pi} n\sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}\, dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \sum_{j=-k}^{k} e^{ijt}\, dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} D_k(t)\, dt=1[/mm]
>
> Wenn ich mich nicht irre.
Das geht so aber nicht: $k$ ist Laufindex der ersten Summe, daher wird nicht $n$ mal der Wert für festes $k$ genommen.
Nutze die Definition von [mm] $F_{n}$ [/mm] und die Tatsache, dass Du die Behauptung für [mm] $D_{k}$ [/mm] bereits gezeigt hast.
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> Nutze die Definition von $ [mm] F_{n} [/mm] $ und die Tatsache, dass Du die Behauptung für $ [mm] D_{k} [/mm] $ bereits gezeigt hast.
Ja, das wollte ich in meiner Rechnung ja machen.
> Das geht so aber nicht: $ k $ ist Laufindex der ersten Summe, daher wird nicht $ n $ mal der Wert für festes $ k $ genommen.
Ich hatte mir ein Beispiel gemacht. Dort viel dann auf, dass wenn man später in der Rechnung für k einen festen Wert einsetzt, natürlich der entstehende Term nicht mehr von diesem Wert abhängt. Es sind hier dann ja nunmehr nur noch ganze Zahlen anstelle von k in dem Term vorhanden.
Ich sehe gerade nicht was ich hier falsch verstehe. Denn selbst für beliebiges k wird es doch so sein, dass der Summenterm am Ende nicht mehr von k abhängt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Do 31.12.2015 | | Autor: | hippias |
Es mag schon sein, dass Du Dir alles richtig überlegt hast. Dann aber finde ich Deine Rechnung nicht sehr klar. Du hast ja z.B. so etwas geschrieben, dass Du die Summe für festes $k$ auswertes und sie daher nicht mehr von $k$ abhängt. Der Integralwert eines jeden Summanden hängt aber nicht von $k$ ab.
Ich hätte es so ungefähr so notiert: [mm] $\int_{0}^{1} F_{n}= \int_{0}^{1} \sum_{k} D_{k}= \sum_{k} \int_{0}^{1} D_{k}= \sum_{k} [/mm] 1$ etc.
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Ja, das macht Sinn. Danke.
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Hi,
kann es sein, dass im Aufgabenteil b) ein Tippfehler vorliegt?
In dem Wikipedia-Artikel (https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Kern#Definition) findet sich nämlich die Formel:
[mm] $D_n(t)=\frac{\sin((n+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2}}$
[/mm]
Anstelle von dem was ich zeigen möchte:
[mm] $D_n(t)=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{\sin(\frac{t}{2})}$
[/mm]
Das eine mal steht das t auch im Argument des Sinus.
Mir sollte hier auch keine eigenartige Konvention entgehen.
Wenn ich die Formel induktiv beweisen möchte, dann scheitert der Induktionsanfang für n=0 auch daran. Mit der Formel von Wikipedia, gelingt es.
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Hallo,
Ja, deine Angabe enthält einen Tippfehler.
Der Dirichletkern [mm] $D_{n}(t)$ [/mm] ist :
[mm] $D_{n}(t) [/mm] = [mm] \frac{sin((n+1/2)t)}{sin(t/2)}$
[/mm]
also wie in Wiki.
Lg
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Danke.
Ein induktiver Beweis für die erste Formel ist mir bisher leider nicht gelungen. Ich denke es fehlen mir die Kenntnisse über die entsprechenden Additionstheoreme.
Ich wollte die Gleichung so angehen wie in dem Wikipedia-Artikel:
[mm] $\sum_{k=-n}^n e^{ikt}=1+\sum_{k=-n}^{-1}e^{ikt}+\sum_{k=1}^n e^{ikt}$
[/mm]
Es ist:
[mm] $\sum_{k=-n}^{-1} e^{ikt}=\sum_{k=-n}^{-1} \cos(kt)+i\sin(kt)$
[/mm]
Ich nutze die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Cosinus aus, dann gilt:
[mm] $=\sum_{k=-n}^{-1}\cos(-kt)-i\sin(-kt)=\sum_{k=1}^n \cos(kt)-i\sin(kt)$
[/mm]
Insgesamt gilt dann also:
[mm] $1+\sum_{k=1}^n cos(kt)+i\sin(kt)+\cos(kt)-i\sin(kt)$
[/mm]
[mm] $=1+2\sum_{k=1}^n \cos(kt)$
[/mm]
Die Induktion ist nun relativ leicht, mit einer bekannten Rechenregel für [mm] $\cos(x)\sin(y)$
[/mm]
Für die zweite Gleichung
[mm] $F_n(t)=\frac{1}{2n\pi}\frac{\sin(\frac{nt}{2})^2}{\sin(\frac{t}{2})^2}$
[/mm]
Ist angegeben, dass sie aus der ersten induktiv folgt.
Es sollte ja so gemeint sein, dass man einsetzt, also:
[mm] $F_n(t)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} D_k(t)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2\pi}\frac{\sin((k+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}$
[/mm]
Der entstehende Induktionsschritt erweist sich jedoch als unfassbar ekelig...
Immerhin muss man ja auch erstmal den Vorfaktor [mm] $\frac{1}{n+1}$ [/mm] umschreiben zu [mm] $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ [/mm] um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können und erhält so vier Summanden, weil man die Summe ja auch anpassen muss, wovon ich nicht sehe, wie sie sich nun endgültig zusammenfügen lassen um den Induktionsschritt zu beenden...
Hat jemand von euch eine bessere Idee?
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Betrachte
[mm] $F_{n}(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=-n}^{n}\frac{n+1-|k|}{n+1}exp(ikn)$
[/mm]
Mittels:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}sin((k+ [/mm] 1/2)x) = [mm] Im(\sum_{k=0}^{n}exp((i(k+1/2)x)..... [/mm] $
dies liefert dir $.... = [mm] \frac{sin^2 (((n+1)x)/2)}{sin(x/2)}$
[/mm]
erhältst du die gewünschte Darstellung des Fejekerns.
lg
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| Aufgabe | | c) Für jedes [mm] $\delta>0$ [/mm] konvergiert die Funktionenfolge [mm] $F_n$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $[\delta, 2\pi-\delta]$ [/mm] gegen Null. Was ist [mm] $F_n(0)$ [/mm] |
Hi,
zu erst habe ich berechnet, was [mm] $F_n(0)$ [/mm] ist. Mit zweifacher Anwendung von L'Hospital erhält man
[mm] $\lim_{t\to 0}\frac{1}{2n\pi}\frac{\sin(\frac{nt}{2})^2}{\sin(\frac{t}{2})^2}=\frac{n}{2\pi}$
[/mm]
Also [mm] $F_n(0)=\frac{n}{2\pi}$
[/mm]
Für die gleichmäßige Konvergenz wollte ich zeigen, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{t\in[\delta,2\pi-\delta]}|F_n(t)-0|=0$
[/mm]
[mm] $F_n$ [/mm] ist [mm] $2\pi$ [/mm] periodisch und achsensymmetrisch. Es reicht also es für [mm] $\delta\in[0,\pi]$ [/mm] zu zeigen.
Allgemein hätte ich noch eine Frage zu der Angabe des Intervalls [mm] $[\delta,2\pi-\delta]$. [/mm] Für [mm] $\delta>\pi$ [/mm] hat man ein Intervall der Form $[a,b]$ wobei $a>b$. Das macht doch eigentlich keinen Sinn.
Da [mm] $F_n$ [/mm] stetig ist und ich ein kompaktes Intervall betrachte, wird ein Maximum angenommen. Nämlich gerade [mm] $F_n(0)$.
[/mm]
Es ist aber [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2\pi}\neq [/mm] 0$.
Was übersehe ich hier?
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Hallo,
hat hier noch jemand eine Anmerkung zu meiner Rechnung die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?
Ich muss ja irgendeinen Fehler gemacht haben...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 05.01.2016 | | Autor: | hippias |
Du arbeitest mit [mm] $F_{n}(0)$, [/mm] aber [mm] $0\not\in[\delta, \pi-\delta]$. [/mm] Als generelle Anmerkung möchte ich noch sagen, dass ich eher mehr mit den Potenzen [mm] $e^{ikt}$ [/mm] in einer geometrischer Reihe gearbeitet hätte, statt mit den trigonometrischen Funktionen und ihren Additionstheoremen.
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Hallo,
Eine äquivalente Formulierung :
[mm] $F_{n}(x)$ [/mm] konvergiert gegen 0 für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gleichmäßig in jeder abgeschlossenen Teilmenge von $[- [mm] \pi [/mm] , [mm] \pi]$ [/mm] die 0 NICHT enthält.
zeige dazu:
[mm] $F_{n}(x)$ [/mm] ist in [mm] $[-\pi, -\delta] \cup [\delta, \pi]$ [/mm] durch [mm] $\frac{1}{n+1}\frac{1}{sin(\delta /2)}$ [/mm] beschränkt.
LG
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