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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 02.05.2019 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | Dirichlet-Funktion D: [mm] \IR \to \IR:
[/mm]
D(x):= [mm] 1_\IQ(x):= \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}
[/mm]
Zu zeigen ist, dass D [mm] \mathcal{B}(\IR)-\mathcal{B}(\IR)-messbar [/mm] ist. |
Bekannt ist mir, dass eine Fallunterschiedung durchgeführt werden soll mit B [mm] \in \mathcal{B}(\IR). [/mm] Vermutlich wohl mit den rationalen und irrationalen Zahlen. Bekannt ist mir außerdem nur, dass bestimmte Teilmengen des [mm] \IR^n [/mm] Borel-Mengen sind (z.B. offene/abgeschlossene Teilmengen).
Vermutlich lässt sich [mm] \IQ [/mm] als eine bestimtte Teilmenge darstellen.
Was genau muss gezeigt werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Do 02.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Dirichlet-Funktion D: [mm]\IR \to \IR:[/mm]
> D(x):= [mm]1_\IQ(x):= \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}[/mm]
>
> Zu zeigen ist, dass D
> [mm]\mathcal{B}(\IR)-\mathcal{B}(\IR)-messbar[/mm] ist.
> Bekannt ist mir, dass eine Fallunterschiedung
> durchgeführt werden soll mit B [mm]\in \mathcal{B}(\IR).[/mm]
> Vermutlich wohl mit den rationalen und irrationalen Zahlen.
> Bekannt ist mir außerdem nur, dass bestimmte Teilmengen
> des [mm]\IR^n[/mm] Borel-Mengen sind (z.B. offene/abgeschlossene
> Teilmengen).
> Vermutlich lässt sich [mm]\IQ[/mm] als eine bestimtte Teilmenge
> darstellen.
>
> Was genau muss gezeigt werden?
Gezeigt werden muss: ist $B [mm] \in \mathcal{B}( \IR)$, [/mm] so ist [mm] $D^{-1}(B) \in \mathcal{B}( \IR)$.
[/mm]
Fall 1: $0,1 [mm] \notin [/mm] B$. Dann ist [mm] $D^{-1}(B) [/mm] = [mm] \emptyset.$
[/mm]
Fall 2: $0,1 [mm] \in [/mm] B$. Dann ist [mm] $D^{-1}(B) =\IR.$
[/mm]
Fall 3: $0 [mm] \in [/mm] B, 1 [mm] \notin [/mm] B$. Dann ist [mm] $D^{-1}(B) [/mm] = ?$
Fall 4: $0 [mm] \notin [/mm] B, 1 [mm] \in [/mm] B$. Dann ist [mm] $D^{-1}(B) [/mm] = ?$
Kläre die Fragezeichen in den Fällen 3 und 4.
Dann solltest Du sehen: [mm] $D^{-1}(B) \in \mathcal{B}( \IR)$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Do 02.05.2019 | | Autor: | TS85 |
Heißt noch:
Fall 3: [mm] D^{-1}(B)= \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
Fall 4: [mm] D^{-1}(B)= \IQ
[/mm]
Danke für die Info, ohne den formalen Ablauf zu wissen wäre ich darauf nicht gekommen..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 03.05.2019 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung: genauso zeigt man für $A [mm] \subseteq \IR$:
[/mm]
[mm] $1_A$ [/mm] ist [mm] $\mathcal{B}(\IR) [/mm] - [mm] \mathcal{B}(\IR)$-messbar $\gdw [/mm] A [mm] \in \mathcal{B}(\IR).$
[/mm]
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