Direktes Produkt ein K-VR ? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 17.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | | Es seien K ein Körper sowie V und W K-Vektorräume. Man zeige, dass das direkte Produkt V [mm] \times [/mm] W versehen mit den Verknüpfungen (v,w) + (v',w') := (v+v', w+w') und [mm] \lambda(v,w) [/mm] := [mm] (\lambdav, \lambdaw) [/mm] für v,v' [mm] \in [/mm] V, w,w' [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in [/mm] K wieder ein K-Vektorraum ist. |
Ich hab leider nicht wirklich eine Ahnung, wie ich vorgehe. Ich schätze mal, dass ich zeigen muss, dass das direkte Produkt abelsch (assoziativ, neutrales Element, inverses Element) ist. Doch wie sieht dieses Produkt genau aus?
Muss ich die beiden Verknüpfungen + und * einzeln betrachten?
Also: (v,v') * (w,w') = (v*w, v'*w')
und (v,v') + (w,w') = (v+w, v'+w')
Mir fehlt gerade wirklich der Durchblick, was genau zu tun ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 17.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Produkt von Vektoren gehoert nicht zu einem VR.
Die Addition und Multipl mit einem [mm] \lambda \in [/mm] K ist ja definiert.
damm musst du nur zeigen, dass fuer die neuen Elemente von V/times W alle Vektorraumaxime erfuellt sind.
Die schreibst du einfach erstmal hin, und zeigst dann eins nach dem anderen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 17.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
Wie sehen denn die neuen Elemente von V [mm] \times [/mm] W aus?
Ist es nun korrekt wenn ich zum Beispiel für die Assoziativität schreibe:
(v,v') + (w,w') = (v+w, v'+w') = (w+v, w'+v') = (w,w') + (v,v')
Wie ist das "Produkt von Vektoren gehoert nicht zu einem VR." gemeint? Ich habe doch die Verknüpfung * gegeben.
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vielleicht könnte man das mit hilfe eines skalarproduktes (für einen K-vr nimm einfach das sog. pseudo-skalarprodukt ,das dort existieren müsste)
mit dem du dann die gesetze nachrechnen kannst.
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