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Hallo!
Kann mir jemand bei folgendem Beweis helfen?
Zeigen Sie, dass das direkte Produkt von Halbgruppen/Monoiden/Gruppen wieder eine Halbgruppe/Monoid/Gruppe bildet.
Danke im Voraus,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi Christian,
also erstmal zwei anmerkungen:
1) ich mache das gleich nur für zwei Mengen M und N und dem direktem Produkt MxN, aber das kann man induktiv ja dann schlussfolgern, wenn es sich um eine beliebig große, aber endlich Anzahl von Mengen handelt !
2)die kannonische verknüpfung ist komponenten Weise, also:
+:MxN -> MxN durch:
(m1,n1)+(m2,n2):=(m1+m2,n1+n2)
wobei das Plus zwischen m1 und m2 in M und das Plus zw. n1 und n2 in N definiert ist !
so, dann kannst du alle deine Eigenschaften, die du nachweisen musst auf die Eigenschaften in M und N zurückführen, Beispiel:
Assoziativität:
[(m1,n1)+(m2,n2)]+(m3,n3)=(m1+m2,n1+n2)+(m3,n3)
=([m1+m2]+m3,[n1+n2]+n3)
=(m1+[m2+m3],n1+[n2+n3])
=(m1,n1)+(n2+n3,m2+m3)=(m1,n1)+[(m2,n2)+(m3,n3)]
(Tippos bitte ignorieren)
Das neutrale Element von MxN ist [mm] (0_M ,0_N [/mm] ), wobei die einträge gerade die neutralen elemente aus M und N sind. (Nachweis eben so einfach)
ich denke, den rest solltest du schaffen - setzt dich einfach mal ran - ist nicht so schwer, wie es aussieht - schreib zur not hier deine versuche hin, dann kann man ja korregieren.
viele Grüße
DaMenge
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