Direkte Summe (offen) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 01.06.2007 | | Autor: | lala14 |
Hi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
A, B sind zwei Teilmengen eines normierten Raumes E. A+B={a+b, a [mm] \in [/mm] A , b [mm] \in [/mm] B}.
Zu zeigen ist, dass wenn eine der beiden Menge A oder B offen, dann ist auch A+B offen.
Leider habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Für offene Intervalle ist es logisch, aber wie zeige ich das allgemein?
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Hiho,
naja, überlege dir mal was es heisst, daß eine Menge offen ist (hier oBdA A offen):
[mm]\forall{ x\in A } \exists{ \varepsilon > 0 }: {B_{\varepsilon}(x) \in A} [/mm] (also die Epsilon-Kugel um x)
Und nun sollst du zeigen, daß dann auch A+B offen ist. Überlege dir also, was du zeigen musst 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:53 Mi 08.08.2007 | | Autor: | lala14 |
Das ist zwar logisch, aber ich verstehe es trotzdem nicht. Vorallem nicht wie ich das dann hinschreiben soll?
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Hallo,
ich kann Deine Frage kaum verstehen.
> Das ist zwar logisch,
WAS findest Du logisch?
> aber ich verstehe es trotzdem nicht.
WAS verstehst Du nicht?
> Vorallem nicht wie ich das dann hinschreiben soll?
WAS willst Du hinschreiben?
Um etwas Konstruktives beizutragen:
Gonozal_IX hatte Dir ja gesagt, daß Du zunächst einmal aufschreiben sollst, was Du zeigen mußt.
Was hast Du denn zu zeigen, wenn Du zeigen willst, daß A+B offen ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mi 08.08.2007 | | Autor: | lala14 |
Danke für die schnelle Antwort, aber hat noch jemand einen weiter Typ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Blech |
A+B offen [mm]\gdw\ \forall x\in A\!+\!B \ \exists \,\varepsilon > 0 :\ B_{\varepsilon}(x) \in A\!+\!B [/mm]
Man beachte den Unterschied und die Gemeinsamkeiten zu oben.
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> Hi!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> A, B sind zwei Teilmengen eines normierten Raumes E.
> [mm]A+B=\{a+b, a \in A , b \in B\}[/mm].
> Zu zeigen ist, dass wenn eine der beiden Menge A oder B
> offen, dann ist auch A+B offen.
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Für
> offene Intervalle ist es logisch, aber wie zeige ich das
> allgemein?
Zunächst bin ich der Meinung, dass Dein Diskussionsthema "Direkte Summe (offen)" irreführend ist: es ist nicht nötig, dass die Summe von $A$ und $B$ direkt ist.
Zum Beweis: es genügt zu zeigen, dass daraus, dass $A$ ist offen folgt, dass auch $A+B$ offen ist.
Sei also $A$ offen und [mm] $a+b\in [/mm] A+B$ beliebig, wobei [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $b\in [/mm] B$. Zu zeigen: es gibt eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a+b)$ [/mm] von $a+b$ mit [mm] $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a+b) \subseteq [/mm] A+B$.
Da $A$ nach Voraussetzung offen ist, gibt es eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)$ [/mm] von $a$ mit [mm] $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a) \subseteq [/mm] A$. Betrachte nun [mm] $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)+b$, [/mm] d.h. die um den Vektor $b$ verschobene Umgebung [mm] $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)$.
[/mm]
Es ist jedenfalls [mm] $a+b\in \mathrm{B}_{\varepsilon}(a)+b$. [/mm] Nun muss man noch überlegen, ob [mm] $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)+b$ [/mm] sogar die gesuchte [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $a+b$ mit [mm] $\mathrm{B}_{\varepsilon}(a)+b\subseteq [/mm] A+B$ ist.
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