Direkte Summe inv. Unterraeume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Do 13.02.2014 | | Autor: | itzepo11 |
Sei $V$ ein euklidischer VR und $f [mm] \in [/mm] O(V)$ von endlicher Ordnung. Nach dem Satz von Maschke gibt es dann eine Zerlegung [mm] $V=W_1 \oplus W_2$ [/mm] in $f$-invariante Unterraeume [mm] $W_i$.
[/mm]
Es sei nun $g [mm] \in [/mm] O(V)$ mit $gf=fg$. Sind dann die Unterraeume [mm] $W_i$ [/mm] auch $g$-invariant?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 14.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]V[/mm] ein euklidischer VR und [mm]f \in O(V)[/mm] von endlicher
> Ordnung. Nach dem Satz von Maschke gibt es dann eine
> Zerlegung [mm]V=W_1 \oplus W_2[/mm] in [mm]f[/mm]-invariante Unterraeume
> [mm]W_i[/mm].
Mit [mm] $W_1 [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und [mm] $W_2 [/mm] = V$ geht das immer. Das ist aber eher langweilig 
> Es sei nun [mm]g \in O(V)[/mm] mit [mm]gf=fg[/mm]. Sind dann die Unterraeume
> [mm]W_i[/mm] auch [mm]g[/mm]-invariant?
Nimm doch fuer $f$ mal die Identitaet. Was sagt das ganze dann aus?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mo 17.02.2014 | | Autor: | itzepo11 |
Hallo Felix
Beide Unterraeume [mm] $W_i$ [/mm] sind echte Unterraeume. Insbesondere ist [mm] $W_i \neq \{ 0 \}$. [/mm] Ausserdem ist $f$ als Element von $O(V)$ von der Ordnung [mm] $m\neq [/mm] 1$, also insbesondere auch $f [mm] \neq [/mm] id$.
Die Existenz dieser Zerlegung ist dabei gesichert (nach dem erwaehnten Satz von Maschke)!! Es geht also nicht darum eine Zerlegung zu finden, fuer die die Frage positiv beantwortet werden kann.
In dem von dir beschriebenen Setting kann man die Frage offensichtlich positiv beantworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mo 17.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beide Unterraeume [mm]W_i[/mm] sind echte Unterraeume. Insbesondere
> ist [mm]W_i \neq \{ 0 \}[/mm]. Ausserdem ist [mm]f[/mm] als Element von [mm]O(V)[/mm]
> von der Ordnung [mm]m\neq 1[/mm], also insbesondere auch [mm]f \neq id[/mm].
Sowas solltest du bitte auch erwaehnen.
Aber ok, dann nehmen wir $f = -id$. Da tritt genau das gleiche Problem auf. Nimmst du irgendeine nichttriviale Zerlegung $V = [mm] W_1 \oplus W_2$, [/mm] so ist diese $f$-invariant. Also durchaus etwas, was beim Satz von Maschke herauskommen kann. (Oder macht der noch mehr Aussagen zu den [mm] $W_i$?)
[/mm]
Ist jedoch $g$ irgendein anderes Element aus $O(V)$, so gilt immer $f g = g f$, aber dass die [mm] $W_i$ [/mm] auch $g$-invariant sind ist recht unwahrscheinlich.
> In dem von dir beschriebenen Setting kann man die Frage
> offensichtlich positiv beantworten.
Nein, eben nicht! Es ist ein Gegenbeispiel fuer "die [mm] $W_i$ [/mm] sind ebenfals $g$-invariant".
LG Felix
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