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Hallo!
Hier meine Multiple-Choice-Fragen
Sei V ein beliebiger Vektorraum über K und [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm] Untervrräume von V
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
1. V= [mm] \oplus [/mm] (von j=1 bis n) [mm] U_{j} [/mm] genau dann, wenn
(a) [mm] V=\summe_{j=1}^{n} U_{j} [/mm] und
(b) jede Familie [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] mit [mm] w_{j} \in U_{j}\setminus [/mm] {0}, j [mm] \in [/mm] {1,...,n}, linear abhängig
ist
2. Aus V= [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] = [mm] U_{1} \oplus U_{3} [/mm] folgt [mm] U_{2}=U_{3}
[/mm]
3. Aus V= [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] = [mm] U_{1}\oplus U_{3} [/mm] und [mm] dimV<\infty [/mm] folgt [mm] U_{2}=U_{3}
[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt:
1. WAHR , das ist aber mehr so eine Vermutung. Ichkönnte auch nicht sagen warum.
Ich bin der Meinung, dass damit die Definition von 'Direkter Summe' erfüllt ist...
2. FALSCH , wir wissen [mm] U_{1} \cap U_{2}=0 [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{3} [/mm] =0 .
Wenn nun [mm] U_{2} [/mm] = [mm] U_{3} [/mm] gilt, heißt das, dass ein beliebiger Vektorraum nur 2
Unterräume hat, deren Schnitt 0 ist.
Gegenbeispiel:
V = [mm] \IR^{3} [/mm]
[mm] U_{1} [/mm] = [mm] \IR [/mm] mit < [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] > ,
[mm] U_{2} [/mm] = [mm] \IR [/mm] mit < [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] > ,
[mm] U_{3} [/mm] = [mm] \IR [/mm] mit < [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] >
3. FALSCH , gleiches Gegenbeispiel wie bei 2.
Vielen Danke!
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Hallo!
> Hier meine Multiple-Choice-Fragen
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> Sei V ein beliebiger Vektorraum über K und
> [mm]U_{1},...,U_{n}[/mm] Untervrräume von V
> Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
> 1. V= [mm]\oplus[/mm] (von j=1 bis n) [mm]U_{j}[/mm] genau dann, wenn
> (a) [mm]V=\summe_{j=1}^{n} U_{j}[/mm] und
> (b) jede Familie [mm](w_{1},...,w_{n})[/mm] mit [mm]w_{j} \in U_{j}\setminus[/mm]
> {0}, j [mm]\in[/mm] {1,...,n}, linear abhängig
> ist
> 2. Aus V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] = [mm]U_{1} \oplus U_{3}[/mm] folgt
> [mm]U_{2}=U_{3}[/mm]
> 3. Aus V= [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] = [mm]U_{1}\oplus U_{3}[/mm] und
> [mm]dimV<\infty[/mm] folgt [mm]U_{2}=U_{3}[/mm]
> Ich habe mir folgendes überlegt:
> 1. WAHR , das ist aber mehr so eine Vermutung. Ichkönnte
> auch nicht sagen warum.
> Ich bin der Meinung, dass damit die Definition von
> 'Direkter Summe' erfüllt ist...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich bin der entgegengesetzen Meinung. Wenn es eine linear abhängige Familie von Vektoren [mm] w_i [/mm] gibt, dann ist oBdA [mm] w_1\not=0 [/mm] eine Linearkombination der anderen n-1 Vektoren, also ist die Darstellung von [mm] w_1 [/mm] als Summe von Vektoren aus den [mm] U_i [/mm] nicht eindeutig.
> 2. FALSCH , wir wissen [mm]U_{1} \cap U_{2}=0[/mm] und [mm]U_{1} \cap U_{3}[/mm]
> =0 .
> Wenn nun [mm]U_{2}[/mm] = [mm]U_{3}[/mm] gilt, heißt das, dass ein
> beliebiger Vektorraum nur 2
> Unterräume hat, deren Schnitt 0 ist.
> Gegenbeispiel:
> V = [mm]\IR^{3}[/mm]
> [mm]U_{1}[/mm] = [mm]\IR[/mm] mit < [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] > ,
> [mm]U_{2}[/mm] = [mm]\IR[/mm] mit < [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] > ,
> [mm]U_{3}[/mm] = [mm]\IR[/mm] mit < [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] >
Die Aussage ist in der Tat falsch, aber Dein Gegenbeispiel ist keins. Bei Dir gilt doch gar nicht [mm] U_1+U_2=U_1+U_3.
[/mm]
> 3. FALSCH
Ja.
Ich habe irgendwie den Verdacht, daß die Aufgaben 2. und 3. eigentlich anders lauten sollten - und fast vermute ich das auch für die 1.
Gruß v. Angela
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Hi!
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich mich bei 1. verschrieben habe. Hier also die korrigierte Frage:
Sei V ein beliebiger Vektorraum über K und [mm] U_{1},...,U_{n} [/mm]
Untervrräume von V.
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
1. V= [mm] \oplus [/mm] (von j=1 bis n) [mm] U_{j} [/mm] genau dann, wenn
(a) V= [mm] \summe_{j=1}^{n} U_{j}
[/mm]
(b) Jede Familie [mm] (w_{1},...,w_{n}) [/mm] mit [mm] w_{j} \in U_{j} \setminus [/mm] {0}
j [mm] \in [/mm] {1,...,n}, linear unabhängig ist
Die Aussage ist dann doch aber richtig, oder?
Vielen Dank
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Sa 09.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Mir ist gerade aufgefallen, dass ich mich bei 1.
> verschrieben habe. Hier also die korrigierte Frage:
>
> Sei V ein beliebiger Vektorraum über K und [mm]U_{1},...,U_{n}[/mm]
>
> Untervrräume von V.
> Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
> 1. V= [mm]\oplus[/mm] (von j=1 bis n) [mm]U_{j}[/mm] genau dann, wenn
> (a) V= [mm]\summe_{j=1}^{n} U_{j}[/mm]
> (b) Jede Familie
> [mm](w_{1},...,w_{n})[/mm] mit [mm]w_{j} \in U_{j} \setminus[/mm] {0}
> j [mm]\in[/mm] {1,...,n}, linear unabhängig ist
>
> Die Aussage ist dann doch aber richtig, oder?
Nein, leider nicht. (Ich kann mir allerdings vorstellen dass hier der Aufgabensteller einen Fehler gemacht hat.)
Ist naemlich eins der [mm] $U_i$ [/mm] der Nulluntervektorraum, also [mm] $U_i [/mm] = [mm] \{ 0 \}$, [/mm] so ist Bedingung (b) immer erfuellt, da es einfach keine solchen Familien gibt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 11.01.2010 | | Autor: | saraks |
Also, 1 ist in der Tat falsch, und wir haben keinen Fehler bei der Aufgabenstellung gemacht. Es handelt sich ja um Multiple Choice Aufgaben und da soll man schon genau hinsehen!
Schönen Abend noch,
Sara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:22 Di 12.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Sara,
> Also, 1 ist in der Tat falsch, und wir haben keinen Fehler
> bei der Aufgabenstellung gemacht. Es handelt sich ja um
> Multiple Choice Aufgaben und da soll man schon genau
> hinsehen!
ok, dann war's doch eine etwas "fiesere" Aufgabe 
Manchmal ist es bei solchen Feinheiten halt nicht ganz klar, ob es etwas "fieser" sein soll oder ob beim Frage formulieren etwas schief gegangen ist...
LG Felix
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