Direkte Summe Ker h und Im h < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich soll folgende Aussage beweisen:
Sei $h [mm] \in Hom_{K} [/mm] (V,V)$ mit der Eigenschaft, dass $h [mm] \circ [/mm] h = h$. Ein solches h heißt idempotent. Zeigen Sie V = Ker h + (direkte Summe) Im h.
Grundsätzlich: ich nehme mal an, dass es sich um $(Hom [mm] (V,V),\circ)$ [/mm] Monoid handelt. Die direkte Summe bedeutet ja, dass sich das Bild und der Kern nicht überschneiden und die Elemente in einer direkten Summe sich respektieren. Aber wie beweist man obige Aussage? Muss man die Kriterien (die es ja auch bei Unterräumen gibt) nachweisen oder wird man die Dimensionsformel benötigen?
Danke im Voraus,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
Für $v [mm] \in [/mm] V$ gilt:
$v = v - h(v) + h(v)$.
Hierbei ist $h(v) [mm] \in [/mm] Im(h)$ und $v-h(v) [mm] \in [/mm] Ker(h)$ wegen
$h(v-h(v)) = h(v) - h(h(v)) = h(v) - h(v)=0$.
Zu zeigen bleibt also:
$Im(h) [mm] \cap Ker(h)=\{0\}$.
[/mm]
Nehmen wir also mal ein $v [mm] \in [/mm] Im(h) [mm] \cap [/mm] Ker(h)$. Zu zeigen ist $v=0$.
Wegen $v [mm] \in [/mm] Im(h)$ gibt es ein $u [mm] \in [/mm] V$ mit $h(u)=v$. Weiterhin gilt: $v [mm] \in [/mm] Ker(h)$.
Hast du vielleicht selber eine Idee, wie man daraus $v=0$ folgern könnte? Melde ich mal mit einem Vorschlag oder frage einfach nach. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Danke für deine raschen Antworten.
Also [mm] $Hom_{K}$ [/mm] ist ja die gesamte Menge linearer Funktionen von $V [mm] \to [/mm] W$, in diesem Fall ja von $V [mm] \to [/mm] V$. Der Kerh ist ja genau dann ${0}$ wenn h ein Monomorphismus, also injektiv von $V [mm] \to [/mm] V$ abbildet.
Oder liege ich da völlig daneben?
Liebe Grüße,
Christian.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Deine Aussagen sind richtig, haben nur mit der Aufgabe nichts zu tun. 
Es gilt wegen $v [mm] \in [/mm] Ker(h)$, $h=h [mm] \circ [/mm] h$ und $h(u)=v$:
$0 = h(v) = h(h(u)) = h(u) = v$.
Viele Grüße
Stefan
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