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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 So 24.10.2010 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Zeige direkt (nicht durch vollständige Induktion)
[mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{4n+1}[/mm] [mm] n\in\IN
[/mm]
Hinweiß: Zerlege mit passenden Konstanten [mm] s,t\in\IN
[/mm]
[mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{s}{4k-3}[/mm] + [mm]\bruch{t}{4k+1}[/mm] |
Lösungsversuch mit Partialbruchzerlegung:
[mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\bruch{1}{4k-3}[/mm] + [mm]\left(-\bruch{1}{4}\right)[/mm] [mm]\bruch{1}{4k+1}[/mm]
Also gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] [mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{4k-3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] [mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{4k+1}[/mm]
Ich weiß nicht, was dort gemacht wurde, und wie ich mit diesem Ansatz zur Lösung komme. Diese Aufgabe erschien paradoxer Weise unter den Aufgaben mit vollständiger Induktion. Ich habe da noch eine Aufgabe, der gleichen Sorte, die ich allerdings dann selber lösen wollte, wenn ich die erste mit eurer Hilfe lösen kann. Wer denoch Interesse hat, die andere ebenfalls zu lösen, sagts mir, ich poste sie euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gotoxy86,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeige direkt (nicht durch vollständige Induktion)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{n}{4n+1}[/mm]
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Hinweiß: Zerlege mit passenden Konstanten [mm]s,t\in\IN[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{s}{4k-3}[/mm] +
> [mm]\bruch{t}{4k+1}[/mm]
> Lösungsversuch mit Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\bruch{1}{4k-3}[/mm] +
> [mm]\left(-\bruch{1}{4}\right)[/mm] [mm]\bruch{1}{4k+1}[/mm]
>
> Also gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{(4k-3)(4k+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{4k-3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] [mm]\bruch{1}{4k+1}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, was dort gemacht wurde, und wie ich mit
> diesem Ansatz zur Lösung komme. Diese Aufgabe erschien
> paradoxer Weise unter den Aufgaben mit vollständiger
> Induktion. Ich habe da noch eine Aufgabe, der gleichen
> Sorte, die ich allerdings dann selber lösen wollte, wenn
> ich die erste mit eurer Hilfe lösen kann. Wer denoch
> Interesse hat, die andere ebenfalls zu lösen, sagts mir,
> ich poste sie euch.
Führe jetzt eine Indexverschiebung so durch, daß in der Summe
[mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{4k-3}[/mm]
der selbe Bruch steht wie in der zweiten Summe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 24.10.2010 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich habe jetzt k=1 zu j=0 transformiert
[mm] \bruch{1}{4} \left[ \summe_{j=0}^{n-1} \bruch{1}{4j+1} - \summe_{j=0}^{n-1} \bruch{1}{4j+5} \right] [/mm]
Ich komme nicht weiter.
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Hallo gotoxy86 und ,
> Ich habe jetzt k=1 zu j=0 transformiert
> [mm]\bruch{1}{4} \left[ \summe_{j=0}^{n-1} \bruch{1}{4j+1} - \summe_{j=0}^{n-1} \bruch{1}{4j+5} \right][/mm]
Hmm, das sind ja immer noch verschiedene Nenner.
[mm]\frac{1}{4}[/mm] auszuklammern, ist eine gute Idee.
Damit hast du [mm]\frac{1}{4}\cdot{}\left[ \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-3} \ \right) \ - \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k+1} \ \right) \ \right][/mm]
Nun vermindere an der ersten Summe den Laufindex k um 1 und passe dies an, indem du das k in der Summe entsprechend um 1 erhöhst:
[mm]=\frac{1}{4}\cdot{}\left[ \ \left( \ \sum\limits_{k=\red{0}}^{\red{n-1}}\frac{1}{4(\red{k+1})-3} \ \right) \ - \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k+1} \ \right) \ \right][/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\cdot{}\left[ \ \left( \ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{4k+1} \ \right) \ - \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k+1} \ \right) \ \right]$
[/mm]
Nun sind in beiden Summen fast alle Summanden gleich ...
>
> Ich komme nicht weiter.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 24.10.2010 | | Autor: | gotoxy86 |
Leider hilft mir das nicht so wirklich, kann damit nix anfangen (wegen mangelnden Wissen).
Ich hab mir schon mal das Ende überlegt auf grund des 1/4:
Ich muss auf [mm] \bruch{1}{4} \left( 1 - \bruch{1}{4n+1} \right) [/mm] kommen.
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Hallo nochmal,
> Leider hilft mir das nicht so wirklich, kann damit nix
> anfangen (wegen mangelnden Wissen).
Jetzt übertreibst du aber.
>
>
> Ich hab mir schon mal das Ende überlegt auf grund des
> 1/4:
>
> Ich muss auf [mm]\bruch{1}{4} \left( 1 - \bruch{1}{4n+1} \right)[/mm]
> kommen.
Das wäre gut!
Vergleiche doch mal die Summen, die erste geht bei [mm]\red{k=0}[/mm] los und geht bis [mm]\blue{k=n-1}[/mm]
Die zweite geht bei [mm]\red{k=1}[/mm] los und geht bis [mm]\blue{k=n}[/mm]
Dh. doch:
1) In der ersten Summe tritt ein Summand für [mm]\red{k=0}[/mm] auf, der in der zweiten Summe nicht auftritt (die beginnt ja erst bei $k=1$). Wie sieht dieser Summand aus?
2) In der zweiten Summe tritt ein Summand für [mm]\blue{k=n}[/mm] auf, der in der ersten Summe nicht auftritt (denn die läuft nur bis [mm]k=n-1[/mm])
Wie sieht dieser Summand aus?
Alle anderen Summanden (von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=n-1[/mm]) treten in beiden Summen auf, heben sich also wegen des Minuszeichens weg.
Was bleibt also übrig?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 24.10.2010 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich muss sagen, ich hatte vorher in der Schule nie, was Folgen und Reihen bzw. was Induktion betrifft gehabt.
ICh bin noch sehr unsicher darin, und mir fällt das offensichtliche manchmal gar nicht auf.
Aber jetzt gerade doch schon
Danke
Bei den ersten Summanden den Start um 1 erhöhen: 1/(4*0+1)=1
Bei den zweiten Summanden das Ende um ein verringern: 1/(4n+1)
Die Überbleibsel der Summanden müssten sich gegenseitig aufheben, und ich hab das was ich haben wollte.
Richtig, oder?
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Hallo gotoxy86,
> Ich muss sagen, ich hatte vorher in der Schule nie, was
> Folgen und Reihen bzw. was Induktion betrifft gehabt.
>
> ICh bin noch sehr unsicher darin, und mir fällt das
> offensichtliche manchmal gar nicht auf.
>
> Aber jetzt gerade doch schon
>
> Danke
>
> Bei den ersten Summanden den Start um 1 erhöhen:
> 1/(4*0+1)=1
> Bei den zweiten Summanden das Ende um ein verringern:
> 1/(4n+1)
>
> Die Überbleibsel der Summanden müssten sich gegenseitig
> aufheben, und ich hab das was ich haben wollte.
>
> Richtig, oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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