Diophantische Gleichungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 So 08.01.2012 | | Autor: | kitty89 |
| Aufgabe | Aufgabe 1 (Diophantische Gleichungen)
Ermitteln Sie jeweils die ganzzahligen Lösungen der folgenden Diophantischen Gleichungen.
a) 9x²- 4y² = 45
b) x²- 49y²=154
c)-3x + xy -4y = 44
d) xy + 6x + 7y = 52 |
Hallo,
ich habe bereits sehr viel Zeit investiert um diese Aufgaben zu lösen. Leider ist mir eine Lösung nur bei der ersten Aufgabe gelungen, mit x1=45 und x2= -90.Könntet ihr mir bitte sagen, ob das korrekt ist? Die Lösung von Aufg. b) ist vermutlich falsch, mit x1= 154 und x2= -7546. Oder ? Bei den anderen Aufgaben weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sarah,
trotz meines Nicknames: ein Experte bin ich nicht auf diesem Gebiet. Aber meinen Nickname habe ich mal ausgewählt, weil dieser ominöse Diophant, von dem man recht wenig weiß, relativ unkonventionell gewesen sein muss und viele Tricks auf Lager hatte. Zwar soll man heutzutage durchaus die Erkenntnisse der Zahlentheorie auf die Lösungen solcher Diophantischer Gleichungen anwenden, aber Tricks sind trotzdem nicht verboten.
So könntets du bei der a) mal versuchen, die linke Seite zu faktorisieren. Dann bist du schon so gut wie fertig...
Desgleichen bei Aufgabe b). Auch bei c) und d) müsste es - nach geeigneter Ergänzung - einen Weg über faktorsieren geben, aber das könntest du ja zunächst selbst mal versuchen (ich bin bei b) und c) spontan auch noch nicht weitergekommen).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 So 08.01.2012 | | Autor: | hippias |
Die erste Gleichung wuerde ich wohl einfach faktorisieren, wobei ich gleich [mm] $x,y\geq [/mm] 0$ voraussetze:
$45= (3x+2y)(3x-2y)$. Nun muss einer der Faktoren durch $3$ teilbar sein, und somit muss $y$ durch $3$ teilbar sein. Sei $y= 3y'$. Einsetzen und kuerzen liefert $5= (x+2y')(x-2y')$. Nun folgt, dass $x+2y'$ und $x-2y'$ gleiches Vorzeichen haben, sodass wegen [mm] $x,y'\geq [/mm] 0$ auch [mm] $x+2y'\geq [/mm] 0$ ist und damit auch [mm] $x-2y'\geq [/mm] 0$.
Da $5$ wohl prim ist, folgt 1. $x+2y'= 1$ und $x-2y'= 5$ oder 2. $x+2y'= 5$ und $x-2y'= 1$.
Der erste Fall scheidet aus, wegen [mm] $x\geq [/mm] 0$ und im zweiten berechnet man $y'= 1$, also $y= 3$ und $x= 3$. Loesungsmenge [mm] $\{(\pm 3, \pm1)\}$. [/mm]
Die zweite Gleichung duerfte aehnlich zu loesen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 08.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 1 (Diophantische Gleichungen)
> Ermitteln Sie jeweils die ganzzahligen Lösungen der
> folgenden Diophantischen Gleichungen.
> a) 9x²- 4y² = 45
> b) x²- 49y²=154
> c)-3x + xy -4y = 44
> d) xy + 6x + 7y = 52
> Hallo,
>
> ich habe bereits sehr viel Zeit investiert um diese
> Aufgaben zu lösen. Leider ist mir eine Lösung nur bei der
> ersten Aufgabe gelungen, mit x1=45 und x2= -90.Könntet ihr
> mir bitte sagen, ob das korrekt ist?
Warum fragst du????
Setze dein x=45 ein und rechne damit y aus. Wenn dein y ganzzahlig ist, hast du eine Lösung gefunden. Wenn nicht- dann gehört x=45 nicht zu einem Lösungspaar.
Du solltest, wie schon vorgeschlagen- faktorisieren.
Aus [mm] $9x^2 -4y^2=45$ [/mm] folgt (3x-2y)(3x+2y)=45
Die Zahl 45 lässt sich genau auf folgende Arten als Produkt zweier ganzer Zahlen erzeugen:
45*1
15*3
9*5
5*9
3*15
1*45
(-45)*(-1)
...
(-1)*(-45)
Teste alle 12 Möglichkeiten, indem du die zugehörigen Gleichungssysteme löst.
Möglichkeit 1: 3x-2y=45 und 3x+2y=1 (führt auf y=-22 und x=1/3, also keine ganzzahlige Lösung).
Die restliche 11 Fälle überlasse ich dir.
Der Versuch, c) zu faktorisieren, führt zunächst auf den Zwischenschritt
-3x+xy=x(-3+y)
Dummerweise lässt sich diese Ausklammerei nicht weiter fortsetzen, weil dahinter nur noch -4y steht. Würde dort auch noch eine 12 stehen, könnte man aus 12-4y ebenfalls den Faktor (-3+y) ausklammern und würde -4(-3+y) erhalten.
Wenn wir also eine 12 brauchen - dann holen wir sie uns doch einfach!
Aus -3x + xy -4y = 44 erhalten wir durch beidseitige Addition von 12
-3x+xy +12-4y=56 , und im linken Term können wir zweimal (-3+x) ausklammern:
x(-3+y) -4(-3+y)=56
Wir klammern den gemeinsamen Faktor (-3+y) aus:
(-3+y)(x-4)=56.
Nun ist 56 z.B.
56*1
28*2
14*4
8*7
(außerdem umgekehrte Reihenfolge beider Faktoren; außerdem entsprechende negative Faktoren).
Das gibt 16 mögliche Lösungspaare (x;y).
Gruß Abakus
> Die Lösung von Aufg.
> b) ist vermutlich falsch, mit x1= 154 und x2= -7546. Oder
> ? Bei den anderen Aufgaben weiß ich nicht wie ich vorgehen
> soll.Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen
> könntet.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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