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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 08.07.2007 | | Autor: | Kathinka |
hallöchen :)
ich habe hier ein paar sätze stehen mit denen ich nicht wirklich viel anfangen kann... wäre lieb wenn mri einer sagen könnte ob ich die richtig verstehe bzw was noch wichtig wäre zu wissen....
BASIS: "ein system linear unabhängiger vektoren aus denen sich alle linear kombinieren lassen heißt basis eines vektorraums"
hm... meint das, dass ich zum beispiel in [mm] R^3 [/mm] bzw R² die koordinatenachsen als basis nehmen kann? bzw irgendwas anderes, muss ja nicht unbedingt rechtwinklig sein oder?
DIMENSIONSSATZ: "Die anzahl der basisvektoren eines vektorraums ist unabhängig von der speziellen basis"
??? das ist total unklar. sind basisvektoren und basis nicht eh irgendwie das gleiche? meine basis besteht doch aus basisvektoren....
AUSTAUSCHSATZ: "b1, ..., bk seien linear unabhängige vektoren in eniem vektorraum mit basis a1, ..., an. Dann gilt: k [mm] \le [/mm] n und bei geeigneter nummerierung der ai ist b1,...,bk, Ak+1,...An wieder eine basis von V."
aha, was das heißen soll kapier ich auch nicht. vielleicht ,dass man mehrere basen zu einer neuen basis zusammenfassen kann? aber gibt es dann nicht auch irgendwie mal ne obergrenze?
kann man sagen z.b. im 3-dimensionalen habe ich nur 3 basisvektoren maximal, im 2-dimensionalen nur 2?
liebe grüße, katja
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Hallo Katja,
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> BASIS: "ein system linear unabhängiger vektoren aus denen
> sich alle linear kombinieren lassen heißt basis eines
> vektorraums"
> hm... meint das, dass ich zum beispiel in [mm]R^3[/mm] bzw R² die
> koordinatenachsen als basis nehmen kann? bzw irgendwas
> anderes, muss ja nicht unbedingt rechtwinklig sein oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau, die Achsen sind gerade die kanonische Basis - im Falle des [mm] \IR^2
[/mm]
die Menge [mm] \{e_1,e_2\}=\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\}
[/mm]
Du benötigst für eine Basis eine Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die der Dimension des zugrunde liegenden Vektorraumes entspricht,
also zB im [mm] \IR^3 [/mm] brauchst du 3 linear unabh. Vektoren, im [mm] \IR^{100} [/mm] halt 100 und im [mm] \IR^n [/mm] n Stück....
> DIMENSIONSSATZ: "Die anzahl der basisvektoren eines
> vektorraums ist unabhängig von der speziellen basis"
> ??? das ist total unklar. sind basisvektoren und basis
> nicht eh irgendwie das gleiche? meine basis besteht doch
> aus basisvektoren....
Die Basis ist eine [mm] \underline{Menge} [/mm] von Vektoren, nämlich von linear unabhängigen Vektoren, deren Anzahl der Dimension des VR entspricht (s.o)
> AUSTAUSCHSATZ: "b1, ..., bk seien linear unabhängige
> vektoren in eniem vektorraum mit basis a1, ..., an. Dann
> gilt: k [mm]\le[/mm] n und bei geeigneter nummerierung der ai ist
> b1,...,bk, Ak+1,...An wieder eine basis von V."
> aha, was das heißen soll kapier ich auch nicht.
> vielleicht ,dass man mehrere basen zu einer neuen basis
> zusammenfassen kann? aber gibt es dann nicht auch irgendwie
> mal ne obergrenze?
ja, die Dimension des VR
Legen wir einen VR V der Dimension n zugrunde. Dann hat [mm] \underline{jede} [/mm] Basis von V n Elemente (also n lin. unabh. Vektoren)
Das ist die Aussage in (2) oben
Jede Menge von mehr als n Vektoren wäre also linear abhängig, somit ist deine "Obergrenze" für die Anzahl lin. unabh. Vektoren genau die Dimension des VR, also hier n
Wenn du also eine Menge mit k linear unabhängigen Vektoren hast,
muss k [mm] \le [/mm] n sein (da Dimension von V = n ist)
Der Ergänzungssatz besagt, dass du diese k-elementige Menge lin. unabh. Vektoren zu einer Basis des VR "aufstocken" kannst, indem du zu den k Vektoren n-k weitere lin. unabh. Vektoren dazupackst, so dass die Gesamtmenge dann aus n lin. unabh. Vektoren besteht - und folglich eine Basis des VR bildet
> kann man sagen z.b. im 3-dimensionalen habe ich nur 3
> basisvektoren maximal, im 2-dimensionalen nur 2? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> liebe grüße, katja
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 08.07.2007 | | Autor: | Kathinka |
sehr gut erklärt! vielen dank :)
muss aber hier nochmal beim dimensionssatz nachfragen:
> > DIMENSIONSSATZ: "Die anzahl der basisvektoren eines
> > vektorraums ist unabhängig von der speziellen basis"
> > ??? das ist total unklar. sind basisvektoren und basis
> > nicht eh irgendwie das gleiche? meine basis besteht doch
> > aus basisvektoren....
>
> Die Basis ist eine [mm]\underline{Menge}[/mm] von Vektoren, nämlich
> von linear unabhängigen Vektoren, deren Anzahl der
> Dimension des VR entspricht (s.o)
müsste es dann nicht im satz abhängig statt unabhängig heißen? denn die anzahl der basisvektoren ist doch abhängig von der basis (bzw von der dimension) so wie ich das verstanden habe....?
lg katja
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Hi nochmal,
nein, das soll bedeuten, dass egal, WELCHE Basis du wählst
- es gibt in endlichdimenionalen VRen stets unendlich viele Basen -
die Anzahl der Basisvektoren immer dieselbe ist, nämlich dim(V)
(In jeder Basis sind selbstverständlich nur linear unabh. Vektoren)
Also nicht verwirren lassen 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 So 08.07.2007 | | Autor: | Kathinka |
aaaaa :) *gefühl der erleuchtung*
vielen dank, nun ist alles klar :)
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