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| Aufgabe | Sei $ T : [mm] P_5(\IR) \to P_5(\IR) [/mm] $ gegeben mit
$ T(f(x)) = f''(x) - f'(x) + 2f(x) $ für alle $f(x) [mm] \in P_5(\IR)$.
[/mm]
Zeige, dass jedes Polynom $g(x) [mm] \in P_5(\IR)$ [/mm] geschrieben werden kann als $g(x)=f''(x)-3f'8x)+2f(x)$, für gewisse $f(x) [mm] \in P_5(\IR)$, [/mm] ohne $f(x)$ auszurechnen!! (Hinweis: Benutze den Dimensionssatz). |
Hallo,
wir wissen, dass [mm] $dim(P_5(\IR)) [/mm] = 6$, weil eine Basis für [mm] $P_3(\IR)$ [/mm] z.B. besteht aus den Monomen [mm] $x^5, x^4,\ldots,x,1$. [/mm] Wir wissen auch, dass $dim(Ker(T))=0$. Wenn wir nämlich ein allgemeines Polynom aus [mm] P_5(\IR) [/mm] aufschreiben und dann die Transformation darauf anwenden, sieht das so aus:
$ f(x) = [mm] ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+hx+j [/mm] $
$ D(f(x)) = [mm] (20ax^3+12ax^2+6cx+2d) [/mm] - [mm] 3(5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+h)+2(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+hx+j) [/mm] $,
was vereinfach ergibt:
$ D(f(x)) = [mm] 2ax^5+(2b-15a)x^4+(20a+12b+2c)x^3+(12a+9c+2d)x^2+(6c+6d+2h)x+(2d+3h+2j) [/mm] $.
Hieraus erhalten wie das folgende Gleichungssystem:
$2a=0$
$-15a+2b=0$
$20a+12b+2c=0$
$12a+9c+2d=0$
$6c+6d+2h=0$
$2d+3h+2j=0$.
Aus der ersten Zeile folgt schon, dass $a=0$. Das in die zweite eingesetzt, zeigt, dass auch $b=0$. Das lässt sich fortführen, sodass wir sehen, dass $a=b=c=d=h=j=0$. Es gilt also, dass
$ Ker(D) = [mm] \{0\}$ [/mm] und somit
$ dim(Ker(D)) = 0$.
Nach dem Dimensionssatz
$ [mm] dim(P_5(\IR)) [/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))$
folgt dann, dass
$ 6 = 0 + dim(Im(D)) = 6 $.
Da [mm] $P_5(\IR)$ [/mm] und $Im(D)$ dieselbe Dimension haben, sind sie identisch (was eigentlich auch schon aus der Definition der Transformation ersichtlich ist...). Hiermit müsste dann gezeigt sein, dass jedes Polynom $g(x) [mm] \in P_5(\IR)$ [/mm] geschrieben werden kann als $g(x)=f''(x)-3f'8x)+2f(x)$, für gewisse $f(x) [mm] \in P_5(\IR)$. [/mm] Ist das alles so in Ordnung?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 09.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]T : P_5(\IR) \to P_5(\IR)[/mm] gegeben mit
>
> [mm]T(f(x)) = f''(x) - f'(x) + 2f(x)[/mm] für alle [mm]f(x) \in P_5(\IR)[/mm].
>
> Zeige, dass jedes Polynom [mm]g(x) \in P_5(\IR)[/mm] geschrieben
> werden kann als [mm]g(x)=f''(x)-3f'8x)+2f(x)[/mm], für gewisse [mm]f(x) \in P_5(\IR)[/mm],
> ohne [mm]f(x)[/mm] auszurechnen!! (Hinweis: Benutze den
> Dimensionssatz).
> Hallo,
>
> wir wissen, dass [mm]dim(P_5(\IR)) = 6[/mm], weil eine Basis für
> [mm]P_3(\IR)[/mm] z.B. besteht aus den Monomen [mm]x^5, x^4,\ldots,x,1[/mm].
> Wir wissen auch, dass [mm]dim(Ker(T))=0[/mm]. Wenn wir nämlich ein
> allgemeines Polynom aus [mm]P_5(\IR)[/mm] aufschreiben und dann die
> Transformation darauf anwenden, sieht das so aus:
>
> [mm]f(x) = ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+hx+j[/mm]
Warum schreibst Du ab hier immer $D$ statt $T$ ????
> [mm]D(f(x)) = (20ax^3+12ax^2+6cx+2d) - 3(5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+h)+2(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+hx+j) [/mm],
>
> was vereinfach ergibt:
>
> [mm]D(f(x)) = 2ax^5+(2b-15a)x^4+(20a+12b+2c)x^3+(12a+9c+2d)x^2+(6c+6d+2h)x+(2d+3h+2j) [/mm].
>
> Hieraus erhalten wie das folgende Gleichungssystem:
..... falls $f [mm] \in [/mm] Kern(T)$ .....
>
> [mm]2a=0[/mm]
> [mm]-15a+2b=0[/mm]
> [mm]20a+12b+2c=0[/mm]
> [mm]12a+9c+2d=0[/mm]
> [mm]6c+6d+2h=0[/mm]
> [mm]2d+3h+2j=0[/mm].
>
> Aus der ersten Zeile folgt schon, dass [mm]a=0[/mm]. Das in die
> zweite eingesetzt, zeigt, dass auch [mm]b=0[/mm]. Das lässt sich
> fortführen, sodass wir sehen, dass [mm]a=b=c=d=h=j=0[/mm]. Es gilt
> also, dass
>
> [mm]Ker(D) = \{0\}[/mm] und somit
> [mm]dim(Ker(D)) = 0[/mm].
>
> Nach dem Dimensionssatz
>
> [mm]dim(P_5(\IR)) = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))[/mm]
>
> folgt dann, dass
>
> [mm]6 = 0 + dim(Im(D)) = 6 [/mm].
>
> Da [mm]P_5(\IR)[/mm] und [mm]Im(D)[/mm] dieselbe Dimension haben, sind sie
> identisch
> (was eigentlich auch schon aus der Definition der
> Transformation ersichtlich ist...).
.... tatsächlich ? ....
> Hiermit müsste dann
> gezeigt sein, dass jedes Polynom [mm]g(x) \in P_5(\IR)[/mm]
> geschrieben werden kann als [mm]g(x)=f''(x)-3f'8x)+2f(x)[/mm], für
> gewisse [mm]f(x) \in P_5(\IR)[/mm]. Ist das alles so in Ordnung?
Ja, wenn Du $T$ statt $D$ schreibst.
FRED
>
> Liebe Grüße.
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Sry, sonst benutzen wir immer $T$ und jetzt war's auf einmal $D$. War einfach eine Gewohnheit.
Also, wenn ich jetzt $T$ anstelle von $D$ benutze, ist es richtig? Nur noch mal als Nachfrage, um es wirklich sicher zu wissen ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 09.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sry, sonst benutzen wir immer [mm]T[/mm] und jetzt war's auf einmal
> [mm]D[/mm]. War einfach eine Gewohnheit.
>
> Also, wenn ich jetzt [mm]T[/mm] anstelle von [mm]D[/mm] benutze, ist es
> richtig?
Ja
FRED
> Nur noch mal als Nachfrage, um es wirklich sicher
> zu wissen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Do 09.10.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Prima, vielen Dank!
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