Dimensionsformeln < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 27.02.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Gegeben seien die linearen Abbildungen [mm] f,g:\IR^8\to\IR^4 [/mm] mit [mm] \dim(Kern(f)\cap [/mm] Kern(g))=3.
Man zeige:
Es gibt ein [mm] v\in\IR^8 [/mm] mit g(v)=-f(v), wobei [mm] g(v)\neq0. [/mm] |
Hallo,
es ist [mm] \dim(Kern(f)+ Kern(g))\leq [/mm] 8, da [mm] U=Kern(f)Kern(g)\subseteq\IR^8 [/mm] ein Unterraum ist.
(+ steht für die "Vereinigungssumme", wenn man das so sagen darf)
Die Dimensionsformel für Untervektorräume liefert
[mm] 8\geq\dim(U)= \dim(Kern(f))+ \dim(Kern(g))- \dim(Kern(f)\cap Kern(g))=\dim(Kern(f))+ \dim(Kern(g))-3
[/mm]
Demzufolge ist [mm] \dim(Kern(f))+ \dim(Kern(g))\leq [/mm] 11
Nun die beiden Dimensionsformeln für lineare Abbildungen (*):
[mm] \dim(Bild(f))+\dim(Kern(f))=8, \qquad \dim(Bild(g))+\dim(Kern(g))=8=\dim\IR^8
[/mm]
Gleichungen * zusammenaddieren:
[mm] 16=\dim(Bild(f))+\dim(Bild(g))+\dim(Kern(f))+\dim(Kern(g))
[/mm]
Wegen [mm] \dim(Kern(f)) +\dim(Kern(g))\leq11 [/mm] folgt nun:
[mm] \dim(Bild(f))+\dim(Bild(g))\geq5
[/mm]
Insbesondere ist [mm] \dim(Bild(f)\cap Bild(g))\geq1, [/mm] denn jedes Bild hat maximal Dimension 4.
So weit, so gut. ich glaube, bis hierhin ist alles richtig. Leider komme ich gerade nicht darauf, wie es weiter geht.
Würde mich sehr freuen, wenn jemand helfen kann!
Danke.
mfg
pyw
|
|
| |
|
> Gegeben seien die linearen Abbildungen [mm]f,g:\IR^8\to\IR^4[/mm]
> mit [mm]\dim(Kern(f)\cap[/mm] Kern(g))=3.
> Man zeige:
> Es gibt ein [mm]v\in\IR^8[/mm] mit g(v)=-f(v), wobei [mm]g(v)\neq0.[/mm]
andere Idee:
Betrachte die lineare Abbildung [mm] h:\IR^8\to\IR^4, [/mm] h(v)=f(v)+g(v)
Wegen der Dimformel für lin. Abbildungen hat der Kern von h Dimension [mm] \geq [/mm] 4.
Von f und g hat sich jedoch nur ein Kern von Dimension 3 "vererbt", d.h. Es gibt [mm] v\in\IR^8 [/mm] mit [mm] $v\in Kern(h)\backslash[Kern(f)\cap [/mm] Kern(g)]$ mit g(v)=-f(v) bzw. h(v)=f(v)+g(v)=0 und [mm] g(v)\neq0
[/mm]
Gruß
|
|
|
|
