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Also ich sitze gerade an einem Beweis und kann ihn nicht nachvollziehen.
Sei F: V [mm] \to [/mm] W linear und dimV < [mm] \infty
[/mm]
Sind Basen [mm] (v_1,..., v_k) [/mm] von KernF, [mm] (w_1,..., w_r) [/mm] von BildF, sowie beliebige Vektoren [mm] u_1 \in F^-1(w_1), [/mm] ..., [mm] u_r \in F^-1(w_r) [/mm] gegeben, so ist
A:= [mm] (u_1,..., u_r, v_1,..., v_k) [/mm] Basis von V .
Insbesondere gilt dann: dimKernF + dimBildF = dimV
Beweis für v [mm] \in [/mm] V sei F(v) = [mm] \mu_1w_1 [/mm] + ... + [mm] \mu_rw_r [/mm] und
v':= [mm] \mu_1u_1 [/mm] +...+ [mm] \mu_ru_r
[/mm]
Wegen F(v) = F(v') folgt v-v' [mm] \in [/mm] KernF, also v-v' = [mm] \lambda_1v_1 [/mm] +...+ [mm] \lambda_kv_k [/mm] und v= [mm] \mu_1u_1 [/mm] +...+ [mm] \mu_ru_r+\lambda_1v_1 [/mm] +...+ [mm] \lambda_kv_k
[/mm]
Also wird V ducrch A erzeugt.
Also was ich nicht verstehe, wieso man einfach [mm] u_1 \in F^-1(w_1) [/mm] setzen kann. Setzt das nicht voraus, dass F injektiv ist?
Deshalb verstehe ich auch nicht wieso v'= [mm] \mu_1u_1 [/mm] +...+ [mm] \mu_ru_r [/mm] sein kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 30.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich sitze gerade an einem Beweis und kann ihn nicht
> nachvollziehen.
> Sei F: V [mm]\to[/mm] W linear und dimV < [mm]\infty[/mm]
> Sind Basen [mm](v_1,..., v_k)[/mm] von KernF, [mm](w_1,..., w_r)[/mm] von
> BildF, sowie beliebige Vektoren [mm]u_1 \in F^-1(w_1),[/mm] ..., [mm]u_r \in F^-1(w_r)[/mm]
> gegeben, so ist
> A:= [mm](u_1,..., u_r, v_1,..., v_k)[/mm] Basis von V .
> Insbesondere gilt dann: dimKernF + dimBildF = dimV
>
> Beweis für v [mm]\in[/mm] V sei F(v) = [mm]\mu_1w_1[/mm] + ... + [mm]\mu_rw_r[/mm]
> und
> v':= [mm]\mu_1u_1[/mm] +...+ [mm]\mu_ru_r[/mm]
> Wegen F(v) = F(v') folgt v-v' [mm]\in[/mm] KernF, also v-v' =
> [mm]\lambda_1v_1[/mm] +...+ [mm]\lambda_kv_k[/mm] und v= [mm]\mu_1u_1[/mm] +...+
> [mm]\mu_ru_r+\lambda_1v_1[/mm] +...+ [mm]\lambda_kv_k[/mm]
> Also wird V ducrch A erzeugt.
> Also was ich nicht verstehe, wieso man einfach [mm]u_1 \in F^-1(w_1)[/mm]
> setzen kann. Setzt das nicht voraus, dass F injektiv ist?
Nein, wenn F injektiv wäre, dann gäbe es genau einen Vektor [mm] $u_1 \in F^{-1}(\{w_1\})$. [/mm] Da [mm] $w_1$ [/mm] im Bild von F liegt, gibt es mindestens einen solchen Vektor, denn [mm] $F^{-1}(\{w_1\})$ [/mm] ist die Menge aller Vektoren, die von F auf [mm] $w_1$ [/mm] abgebildet werden. Aus dieser Menge wählst du zufällig irgendeinen Vektor aus.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Di 30.12.2008 | | Autor: | Heureka89 |
Hi,
danke für die Antwort. Habs jetzt verstanden.
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