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Dimensionsformel: Beweis verstehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mo 18.08.2008
Autor: cares87

Aufgabe
Sei dim V < [mm] \infty [/mm] und F: V [mm] \to [/mm] W linear. weiterhin sei [mm] (v_{1},...,v{k}) [/mm] eine Basis des Kerns von F. (oder k=0 falls ker F={0})
Sei [mm] (w_{1},...,w_{r}) [/mm] Basis von imF sowie [mm] u_{i} \in [/mm] V mit [mm] F(u_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm]
Dann ist [mm] (v_{i},...,v_{k},u_{1},...,u_{r}) \subset [/mm] V Basis. Insbesondere gilt: dim V=dim kerF+ dim imF

So, ich lerne grad für meien mündlcihe Prüfung und der Anfang des Beweises macht mir ein Problem:
Sei v [mm] \in [/mm] V und F(v)= [mm] \summe_{i=1}^{r} \mu_{i}w_{i}. [/mm] Sei v'= [mm] \summe_{i=1}^{r} \mu_{i}u_{i}. [/mm]
Dann ist F(v')=  [mm] \summe_{i=1}^{r} \mu_{i} F(u_{i})=F(v). [/mm]
Die ist auch genau der Schritt den ich grad nicht nachvollzihene kann, der Rest des Beweises ist mir klar, aber wo kommt diese Gelichung her?

lg,
Caro

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Dimensionsformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mo 18.08.2008
Autor: angela.h.b.


> Sei dim V < [mm]\infty[/mm] und F: V [mm]\to[/mm] W linear. weiterhin sei
> [mm](v_{1},...,v{k})[/mm] eine Basis des Kerns von F. (oder k=0
> falls ker F={0})
>  Sei [mm](w_{1},...,w_{r})[/mm] Basis von imF sowie [mm]u_{i} \in[/mm] V mit

[mm] >\blue{F(u_{i}) = w_{i}} [/mm]

>  Dann ist [mm](v_{i},...,v_{k},u_{1},...,u_{r}) \subset[/mm] V
> Basis. Insbesondere gilt: dim V=dim kerF+ dim imF
>  So, ich lerne grad für meien mündlcihe Prüfung und der
> Anfang des Beweises macht mir ein Problem:
>  Sei v [mm]\in[/mm] V und F(v)= [mm]\summe_{i=1}^{r} \mu_{i}w_{i}.[/mm] Sei
> v'= [mm]\summe_{i=1}^{r} \mu_{i}u_{i}.[/mm]
>  Dann ist F(v')=  
> [mm]\summe_{i=1}^{r} \mu_{i} F(u_{i})=F(v).[/mm]
>  Die ist auch genau
> der Schritt den ich grad nicht nachvollzihene kann, der
> Rest des Beweises ist mir klar, aber wo kommt diese
> Gelichung her?

Hallo,

Du hast v'= [mm]\summe_{i=1}^{r} \mu_{i}u_{i}.[/mm].

Es ist [mm] F(v')=F(\summe_{i=1}^{r} \mu_{i}u_{i}) [/mm]

[mm] =\summe_{i=1}^{r} F(\mu_{i}u_{i}) [/mm]      (Linearität v. F, )

[mm] =\summe_{i=1}^{r} \mu_{i}F(u_{i}) [/mm]      (Linearität v. F)

[mm] =\summe_{i=1}^{r} \mu_{i}w_i) [/mm]     (blaue Voraussetzung)


Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Dimensionsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 18.08.2008
Autor: cares87

Ah, natürlich, wie dabbisch von mir! Danke!
lg,
Caro

Bezug
                        
Bezug
Dimensionsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mo 18.08.2008
Autor: angela.h.b.


> wie dabbisch

Hallo,

Du scheinst aus meiner Gegend zu kommen.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Dimensionsformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Mo 18.08.2008
Autor: cares87

^^ ja, auch aus Lautern...
lg

Bezug
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