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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Dimensionen der Unterräume
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Dimensionen der Unterräume: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Fr 20.11.2009
Autor: Juliia

Es seien a=(1,0,2), b=(2,0,1), c=(0,2,0), d=(2,2,2) Elemente der Vektorräume [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] und [mm] V_{2}=\IZ_{5}^{3}. [/mm] Ferner seien U= Span(a,b) und W0 Span (c,d) Unterräume von [mm] V_{i}, [/mm] i=1,2.
a) Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterräume U, W, U +W und U [mm] \cap [/mm] W von V,  indem Sie jeweils eine Basis angeben.
b) Wählen Sie aus den Vektoren a, b, c und d jeweils eine Basis [mm] B_{i}, [/mm] i=1,2 des Vektorraums [mm] V_{i} [/mm] aus und geben Sie die Koordinatendarstellung eines beliebigen Vektors [mm] \nu=(x,y,z)\in V_{i} [/mm] bezüglich dieser Basis an.
Also, mein  Problem ist, dass wir Dimensionen noch  nicht  in der Vorlesung hatten,  aber  in Hausaufgaben!
Kann mir jemand helfen?

        
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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


>  Also, mein  Problem ist, dass wir Dimensionen noch  nicht  
> in der Vorlesung hatten,  aber  in Hausaufgaben!
>  Kann mir jemand helfen?

Hallo,

die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl der Elemente in einer Basis des Vektorraumes.

Hast Du eine Basis, kennst Du die Dimension.

Gruß v. Angela


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Fr 20.11.2009
Autor: Juliia

Also, U=Span ((1,0,2), (2,0,1))  a, b sind linear abhängig, denn die Gleichung  [mm] (1,0,2)=\lambda [/mm] (2,0,1) ist mit [mm] \lambda= [/mm] 1/2 lösbar.
Bin ich schon auf  dem richtigen Weg?

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Also, U=Span ((1,0,2), (2,0,1))  a, b sind linear
> abhängig, denn die Gleichung  [mm](1,0,2)=\lambda[/mm] (2,0,1) ist
> mit [mm]\lambda=[/mm] 1/2 lösbar.

Hallo,

Moment!

Wenn die Vektoren [mm] \in \IR^3 [/mm] sind, ist das  nicht der Fall: [mm] \bruch{1}{2}*\vektor{2\\0\\1}=\vektor{1\\0\\\bruch{1}{2}}. [/mm]
Im [mm] \IR^3 [/mm] sind die linear unabhängig.


Allerdings: hast Du die Aufgabe richtig durchgelesen?
Du sollst das einmal bearbeiten für $ [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] $ und dann noch für $ [mm] V_{2}=\IZ_{5}^{3}. [/mm] $


>  Bin ich schon auf  dem richtigen Weg?

Fang mal mit mit [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] an. Es stammen also die Einträge aus [mm] \IZ_{3}. [/mm]

Dann ist nämlich (1,0,2)=2*(2,0,1) .

Vielleicht meintest Du das ja. Ich bin mir aber  nicht sehr sicher.

Gruß v. Angela


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Fr 20.11.2009
Autor: Juliia

Wenn a und b unabhängig sind , dann bilden sie eine Basis von U und es gilt Dim U=2, oder wie?

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Wenn a und b unabhängig sind , dann bilden sie eine Basis
> von U und es gilt Dim U=2, oder wie?

Hallo,

genau.

Und wenn sie nicht linear unabhängig sind, ist die Dimension von U kleiner als 2.

Gruß v. Angela


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Fr 20.11.2009
Autor: Juliia

Ja, aber in meinem Fall sind sie oder?

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Ja, aber in meinem Fall sind sie oder?

Hallo,

Du sagst ja nicht genau, welchen Fall Du gerade bearbeitest!

Löst Du die Aufgabe nun für den Vektorraum [mm] \IR^3, \IZ_3^3 [/mm] oder [mm] \IZ_5^5. [/mm]

Das hast Du bisher noch nicht verraten. Ich habe Dir ja vorgemacht, daß das zu Unterschieden führen kann.

Gruß v. Angela


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Fr 20.11.2009
Autor: Juliia

Ich versuche grade [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm]   irgendwie hinzukriegen.

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Ich versuche grade [mm]V_{1}=\IZ_{3}^{3}[/mm]   irgendwie
> hinzukriegen.

Aha.

Und?

Sind [mm] a,b\in\IZ_{3}^{3} [/mm] linear unabhängig?

(Ich hatte doch vorgerechnet, daß sie Vielfache voneinander sind...)

Gruß v. Angela


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Fr 20.11.2009
Autor: Juliia

Ok die sind unabhängig, dann bilden sie diese Basis von U mit Dim U=2 aber wie komme  ich  weiter?

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Ok die sind unabhängig,

Hallo,

nein, sind sie nicht.

Wie habt Ihr lineare Unabhängigkeit definiert?

Gruß v. Angela


> dann bilden sie diese Basis von U
> mit Dim U=2 aber wie komme  ich  weiter?


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Di 24.11.2009
Autor: Juliia

   Vektoren sind dann linear abhängig (=paralell) wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Di 24.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Vektoren sind dann linear abhängig (=paralell) wenn der
> eine ein Vielfaches des anderen ist

Hallo,

für zwei Vektoren, womit wir es hier zu tun haben, ist das richtig.

(Es ist trotzdem notwendig, daß Du die Frage auch für n Vektoren beantworten kannst, und falls Du nicht fürs Grund- oder Sonderschullehramt studierst, dann auch für eine menge von unendlich vielen Vektoren).

Und welche Schlüsse hast Du aus der Erkenntnis mit den Vielfachen gezogen?

Wir waren doch dabei, die Vektoren
a=(1,0,2), b=(2,0,1)
als Elemente des Vektorrraumes $ [mm] V_{1}=\IZ_{3}^{3} [/mm] $  über [mm] \IZ_3 [/mm] zu betrachten.

Hast Du denn mal 2*a ausgerechnet?

Gruß v. Angela


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Di 24.11.2009
Autor: Juliia

a=(2,0,4)  b=(4,0,2)  ja die sind abhängig.

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Di 24.11.2009
Autor: reverend

Hallo Julia,

> a=(2,0,4)  b=(4,0,2)  ja die sind abhängig.

Dann müsste es ja ein [mm] k\in\IR [/mm] geben, so dass [mm] \vec{a}=k\vec{b} [/mm] ist.

Wie groß ist dieses k Deiner Ansicht nach hier?

Grüße
reverend


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Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Di 24.11.2009
Autor: Juliia

k=2

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Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Di 24.11.2009
Autor: reverend

Ja. Aber nur im [mm] \IZ_3 [/mm] und sonst nirgends.

Wenn Du noch dabei bist, diesen Fall zu untersuchen, dann sind [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] also keine Basis.

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Dimensionen der Unterräume: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:49 Di 24.11.2009
Autor: Juliia

Ich weiss dass nicht,
Lineare Algebra ist ganz schwer  für  mich......

Bezug
                                                                                                                                                        
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Dimensionen der Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Di 24.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Ich weiss dass nicht,

Hallo,

was meinst Du jetzt mit "das"?
Was weißt Du jetzt nicht?
Mir ist Deine Frage nicht klar gerade...

Hast Du denn jetzt begriffen, warum  a und b im [mm] \IZ_3^3 [/mm] über [mm] \IZ_3 [/mm] linear abhängig sind?
(Wie man in [mm] \IZ_3 [/mm] rechnet, weißt Du?)

Gruß v. Angela




Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Dimensionen der Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Di 24.11.2009
Autor: Juliia

Neien ....
kannst  erklären? Bitte...

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Dimensionen der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Di 24.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Neien ....
>  kannst  erklären? Bitte...

Hallo,

ich hab's geahnt...

[mm] \IZ_3 [/mm] sind die Restklassen modulo 3 - lies dies unbedingt genau im Skript oder anderswo nach, ich erkläre es nur grob.

Es gibt in [mm] \IZ_3 [/mm] nur drei Elemente [mm] \IZ_3:={\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}. [/mm]
Meist läßt man die Striche weg.

In [mm] \overline{2} [/mm]  sind alle Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 lassen, die anderen entsprechend.

Es ist  bespielsweise [mm] \overline{2}=\overline{5}, [/mm] denn beide Zahlen lassen bei Division durch 3 den Rest 2.

Es wird nun so addiert:

[mm] \overline{n}+_3 \overline{m}= [/mm] ???
Man rechnet m+n, überlegt, welcher Rest r bei Division durch 3 bleibt. das Ergebnis ist dann  [mm] \overline{r}. [/mm]

Beispiel: [mm] \overline{2}+ \overline{2}=\overline{\red{1}}, [/mm] denn 2+2=4= 1*3 [mm] +\red{1}. [/mm]

Multiplikation:
[mm] \overline{n}*\overline{m}= [/mm] ???
Man rechnet m*_{3}n, überlegt, welcher Rest s bei Division durch 3 bleibt. das Ergebnis ist dann  [mm] \overline{s}. [/mm]

Beispiel: [mm] \overline{2}* \overline{5}=\overline{\red{1}}, [/mm] denn 2*5=4= 10=3*3 [mm] +\red{1}. [/mm]


In [mm] \IZ_3^3 [/mm] sind Vektoren mit drei Einträgen, die jeweils dem Körper  [mm] \IZ_3 [/mm] entstammen.

Damit erhält man (Querstriche lasse ich weg)

2a= 2*(1,0,2)=(2*1, 2*0, 2*2)= (2, 0, 4)=(2,0,1),   denn [mm] \overline{4}=\overline{1}. [/mm]

Hier siehst Du nun, daß  2a=b ist.

Also sind die linear abhängig, und somit keine Basis des von a und b aufgespannten Raumes.

Wenn Du solche Sachen nicht sofort kapierst, z.B. auch, was es mit [mm] \IZ_3 [/mm] auf sich hat, mußt Du das unbedingt nachschlagen und nacharbeiten.
Da deutsch offenbar nicht Deine Muttersprache ist, helfen Dir vielleicht Lehrbücher in der eigenen Sprache oder auf englisch weiter. Da ist dann die sprachliche Hürde nicht so groß.

Vor den Lösen der Aufgaben immer alle(!) Definitionen und Zeichen klären!
Hier fehlte wohl mehr als nur der Dimensionsbegriff.

Gruß v. Angela



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