Dimension von Schnittmengen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:43 So 24.01.2010 | | Autor: | thaaab |
Hallo,
Wenn ich 2 Punktmengen im [mm] R^n [/mm] schneide, dann passiert folgendes...
Ich nehme die beiden Bedingungen, durch die die Punktmengen beschrieben werden und setze diese in Form A(1darunter2) * x = t(1darunter2) untereinander. x bleibt derselbe Vektor, da x ja von der Dimension abhängt.
Bei z.B. einer Gerade im [mm] R^n [/mm] habe ich zwei Gleichungen zum beschreiben einer Gerade.
Verfahre ich nach dem oben genannten System erhalte ich 4 Gleichungen.
bei 3 Freiheitsgraden heisst das, dass eine Gleichung linear abhängig von den anderen ist. bleiben also maximal 3 unabhängige Bedingungen. Das LGS hat somit max rg(A)=3 und da Dimension = Freiheitsgrade => Dimension neu = Freiheitsgrade - rg(A)
das würde heissen es gäbe keinen Freiheitsgrad also Punkt.
Stimmt das so ?
Beim Schnitt zweier Ebenen käme ich ja auf maximal zwei unabhängige Gleichungen.
da wäre meine Dimension dann 1 also Gerade.
Ich hoffe man versteht was ich sage Wink
Wäre für Hilfe sehr dankbar
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=409244
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/254912,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, deine Frage ist unverständlich.
a)einmal bist du im [mm] \IR^3, [/mm] einmal im [mm] \IR^n
[/mm]
b) was deine Formel soll ist völlig unklar
Schreib doch einfach die Aufgabe, um die es geht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 So 24.01.2010 | | Autor: | thaaab |
okay, sorry...
also nochmal:
Meine Frage bezieht sich auf den Raum [mm] R^n, [/mm] dieser hat die Dimension n.
Es seien zwei Punktmengen(Unterräume??) gegeben.
Eine Gerade [mm] A*\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{t} [/mm] mit rg (A) = n-1 und
eine Ebene [mm] B*\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] mit rg (B) = n-2.
Will ich jetzt A [mm] \cap [/mm] B wissen, fällt mir nur eins ein.
Ich schreibe die zwei Gleichungen also die der Geraden und Ebene untereinander.
[mm] \pmat{ a(11) & a(12) & ... & a(1n) \\ ... & ... & ... & ... \\ a((n-1)1) & a((n-1)2) & ... &a((n-1)n) \\ b11 & b12 & ... & b1n \\ ... & ... & ... \\ b((n-2)1) & ... & ... & b((n-2)n)} [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ ..... \\ xn} [/mm] = [mm] \pmat{ t1 \\ t2 \\ ... \\ t(n-1) \\ c1 \\ c2 \\ ... \\ c(n-2) }
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] bleibt dabei der Gleiche, denn er ist ja abhängig von der Dimension von [mm] R^n????
[/mm]
Soooo. jetzt habe ich n-1 + n-2 Gleichungen also rg (A,B) = 2n - 3
Meine konkrete Frage ist jetzt. Wie komme ich auf die Dimension der Schnittmenge :)
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Dimension der ersten Menge ist 0 oder 1, die der zweiten 0,oder 2. je nach t bzw c
der Rang deiner kombinierten Matrix ist ja maximal n, d.h. dann ist deine Schnittmenge leer.
die Schnittmenge einer Geraden und einer Ebene im [mm] \IR^n [/mm] mit n>3 kann leer (Gerade und Ebene sind windschief, 1Punkt (sie schneiden sich) oder die Gerade selbst sein, (wenn sie in der Ebene liegt).
Ist das wirklich ne Aufgabe oder hast du dir das Problem ausgedacht? als Aufgabe scheint sie mir nicht sehr sinnvoll.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 24.01.2010 | | Autor: | thaaab |
Ok, erstmal vielen dank.
Also, ich hab mir das Problem ehrlich gesagt selbst konstruiert. Ich poste jetzt mal die Ausgangsfragen, mein Lösungsansatz wäre der gleiche, bin ich auf dem richtigen Weg ?
Die Aufgabe war eigentlich,
Welche Dimension hat der Teilraum mindestens und höchstens wenn man die Schnittmenge zweier nicht paralleler Hyperebenen des [mm] R^n [/mm] bildet bzw.
Welche Dimension hat der Teilraum von [mm] R^n [/mm] der entsteht wenn man den Schnitt eines p-dimensionalen mit einem q-dimensionalen Teilraum bildet mindestens und welche höchstens. Diese zweitere habe ich versucht mit Gerade und Ebene zu formulieren.
Jetzt hab ich allerdings ne Frage zu deinen Ausführungen.
1. Wie kann die Dimension von der Gerade und der Ebene null werden?
2. Wieso ist meine Schnittmenge leer, wenn der Rang maximal wird.
Es gilt doch Dimension - rg(A,B) = Freiheitsgrade... Wenn Rang n ist dann gilt ja n - n = 0 was ja einem Punkt entsprechen würde.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 24.01.2010 | | Autor: | thaaab |
Ok, erstmal vielen dank.
Also, ich hab mir das Problem ehrlich gesagt selbst konstruiert. Ich poste jetzt mal die Ausgangsfragen, mein Lösungsansatz wäre der gleiche, bin ich auf dem richtigen Weg ?
Die Aufgabe war eigentlich,
Welche Dimension hat der Teilraum mindestens und höchstens wenn man die Schnittmenge zweier nicht paralleler Hyperebenen des $ [mm] R^n [/mm] $ bildet bzw.
Welche Dimension hat der Teilraum von $ [mm] R^n [/mm] $ der entsteht wenn man den Schnitt eines p-dimensionalen mit einem q-dimensionalen Teilraum bildet mindestens und welche höchstens. Diese zweitere habe ich versucht mit Gerade und Ebene zu formulieren.
Jetzt hab ich allerdings ne Frage zu deinen Ausführungen.
1. Wie kann die Dimension von der Gerade und der Ebene null werden?
2. Wieso ist meine Schnittmenge leer, wenn der Rang maximal wird.
Es gilt doch Dimension - rg(A,B) = Freiheitsgrade... Wenn Rang n ist dann gilt ja n - n = 0 was ja einem Punkt entsprechen würde.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest die Punktmenge A*x=t, die kann wenn der Rang der um t erweiterten Matrix keine Lösung haben.
wenn du einen p und q dimensionalen U-Raum schneidest,p<q kann bei [mm] p+q\le [/mm] n die leere Menge rauskommen bis maximal p dimensional wenn der p dim im q dimsionalen liegt.
Wenn p+q>n kannst du wieder q-p dim bis q dimensional kriegen, aber nicht die leere Menge.
Gruss leduart
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