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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:46 Mi 17.11.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Wir bez. den Raum aller dreireihigen Zahlenquadrate bestehend aus nen in drei Dreierreihen angeordneten Zahlen
[mm] x_{1} x_{2} x_{3}
[/mm]
[mm] x_{4} x_{5} x_{6}
[/mm]
[mm] x_{7} x_{8} x_{9}
[/mm]
mit V. Weiter sei Z [mm] \subset [/mm] V die Menge bestehend aus allen Zahlenquadraten, bei welchen die Summen der Zahlen in den Zeilen, in den Spalten und in den Diagonalen den gleichen Wert hat, also
[mm] x_{1} +x_{2}+ x_{3} [/mm] = [mm] x_{4}+ x_{5}+ x_{6} [/mm] = [mm] x_{7}+ x_{8}+ x_{9} [/mm] = [mm] x_{1}+ x_{5} +x_{9} [/mm] = [mm] x_{1}+ x_{4} +x_{7} [/mm] = [mm] x_{2}+ x_{5}+ x_{8} =x_{3}+ x_{6}+ x_{9} [/mm] = [mm] x_{3} +x_{5} +x_{7}
[/mm]
Hinweis: Überlegen sie kurz, dass jedes Zahlenqhadrat als Vektor im [mm] IR^{9} [/mm] aufgefasst werden kann und Z der Menge aller Vektoren, die das homogene LGS (L) lösen, entspricht, also Z ein Unterraum von V ist.
I)
Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von Z
II)
Bestimmen Sie ven Elemente aus [mm] V\Z, [/mm] die linear unabhängig sind |
Zu dieser Aufgabe habe ich leider keine Musterlösung und erlich gesagt steht hier bei mir nur ein riiiesiges Fragezeichen... Hilfe!
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> Zu dieser Aufgabe habe ich leider keine Musterlösung und
> erlich gesagt steht hier bei mir nur ein riiiesiges
> Fragezeichen... Hilfe!
Hallo,
"riesiges Fragezeichen" zu präzisieren, wäre keine schlechte Idee.
Vielleicht solltest Du uns mal über Deine Vorkenntnisse aufklären, ich bin ja eben bei der anderen Aufgabe schon etwas stutzig geworden.
Was studierst Du denn?
> Wir bez. den Raum aller dreireihigen Zahlenquadrate
> bestehend aus nen in drei Dreierreihen angeordneten Zahlen
> [mm]x_{1} x_{2} x_{3}[/mm]
> [mm]x_{4} x_{5} x_{6}[/mm]
> [mm]x_{7} x_{8} x_{9}[/mm]
>
> mit V.
Aha. Es ist V also der Vektorraum der 3x3-Matrizen, und ich vermute, daß die [mm] x_i [/mm] aus [mm] \IR [/mm] sein sollen. Also ist [mm] V=\IR^{3\times 3}.
[/mm]
Kennst Du diesen Vektorraum?
Welche Dimension hat er?
Kannst Du eine Basis sagen?
> Weiter sei Z [mm]\subset[/mm] V die Menge bestehend aus allen
> Zahlenquadraten, bei welchen die Summen der Zahlen in den
> Zeilen, in den Spalten und in den Diagonalen den gleichen
> Wert hat, also
> [mm]x_{1} +x_{2}+ x_{3}[/mm] = [mm]x_{4}+ x_{5}+ x_{6}[/mm] = [mm]x_{7}+ x_{8}+ x_{9}[/mm]
> = [mm]x_{1}+ x_{5} +x_{9}[/mm] = [mm]x_{1}+ x_{4} +x_{7}[/mm] = [mm]x_{2}+ x_{5}+ x_{8} =x_{3}+ x_{6}+ x_{9}[/mm]
> = [mm]x_{3} +x_{5} +x_{7}[/mm]
Verstehe ich. Ein magisches Quadrat.
>
> Hinweis: Überlegen sie kurz, dass jedes Zahlenqhadrat als
> Vektor im [mm]IR^{9}[/mm] aufgefasst werden kann
Du solltest eigentlich wissen, daß V die Dimension 9 hat, und damit isomorph ist zum [mm] \IR^9.
[/mm]
Überleg mal, wie Du jeder der Matrizen in eindeutiger Weise einen Spaltenvektor mit 9 Einträgen zuordnen kannst.
> und Z der Menge
> aller Vektoren, die das homogene LGS (L) lösen,
> entspricht,
Hm.
Hast Du den Aufgabentext irgendwie verändert?
Das, was jetzt dasteht, ist doch seltsam:
Z soll ja lt. Aufgabentext die Menge sämtlicher magischer Quadrate bzw. "magischer Spaltenvektoren" sein.
Diese Menge besteht doch nicht nur aus den Lösungen von
[mm] $0=x_{1} +x_{2}+ x_{3}$ [/mm] = [mm] $x_{4}+ x_{5}+ x_{6}$ [/mm] = [mm] $x_{7}+ x_{8}+ x_{9}$
[/mm]
= [mm] $x_{1}+ x_{5} +x_{9}$ [/mm] = [mm] $x_{1}+ x_{4} +x_{7}$ [/mm] = [mm] $x_{2}+ x_{5}+ x_{8} =x_{3}+ x_{6}+ x_{9}$= $x_{3} +x_{5} +x_{7}$.
[/mm]
Es ist ja auch beispielsweise [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm] ein magisches Quadrat.
Oder ist für das "homogene LGS (L)" irgendwas angegeben, was Du uns verschweigst?
> also Z ein Unterraum von V ist.
Dem nun wiederum kann ich zustimmen.
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß Z ein Unterraum der 3x3-Matrizen bzw. des [mm] \IR^9 [/mm] ist?
Ich denke, sich über die Lösung der eigentlichen Aufgabe herzumachen, hat erst Sinn, wenn bis hierher alles klar ist.
> I)
> Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von Z
> II)
> Bestimmen Sie ven Elemente aus [mm]V\Z,[/mm] die linear unabhängig
> sind
Was soll in II statt "ven" stehen?
Gruß v. Angela
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