Dimension des Lösungsraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich löse gerade eine Aufgabe und möchte mich vergewissern, dass ich auf dem richtigen Weg bin. Hier die Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen linearen Gleicungssystems und geben Sie dann den Lösungsraum des LGS an.
[mm] $\pmat{0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & -1 & -3 \\ 1 & 6 & 0 & -1 }\cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2}$
[/mm]
Meine Lösung: Ich bilde die erweiterte Matrix [mm] $\pmat{0 & 1 & 1 & 2 & | & 2 \\ 1 & 5 & -1 & -3 & | & 0 \\ 1 & 6 & 0 & -1 & | & 2 }$
[/mm]
Mit dem Gauss Algo bekomme ich folgende Stufenform:
[mm] $\pmat{1 & 5 & -1 & -3 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 }$
[/mm]
D.h. die erweiterte Matrix hat Rang 2 und die Dimension des Lösungsraumes ist 3 - 2 = 1.
Wenn ich nun [mm] $x_4 [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm] setze bekomme ich:
[mm] $x_3=0$
[/mm]
[mm] $x_2=-2$
[/mm]
[mm] $x_1=13$ [/mm]
also Kern = $ [mm] \{ \lambda \cdot \vektor{13 \\ -2 \\ 0 \\ 1} \} [/mm] $
Haut das hin?
Grüße
zildjianK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Di 05.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> $ [mm] \pmat{0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & -1 & -3 \\ 1 & 6 & 0 & -1 }\cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] $
Du meinst wohl
$ [mm] \pmat{0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & -1 & -3 \\ 1 & 6 & 0 & -1 }\cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 2}$.
[/mm]
> Mit dem Gauss Algo bekomme ich folgende Stufenform:
> $ [mm] \pmat{1 & 5 & -1 & -3 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 } [/mm] $
Das ist korrekt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> D.h. die erweiterte Matrix hat Rang 2 und die Dimension des Lösungsraumes ist 3 - 2 = 1.
Das ist nicht richtig ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") . Es ist $dim(L)=dim(V)-rg(A)$. Es ist allerdings nicht, wie du annimmst, $dim(V)=3$, sondern $dim(V)=4$, d.h. $dim(L)=4-2=2$.
> Wenn ich nun $ [mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] $ setze bekomme ich
Da du dachtest, dass das Lösungsraum die Dimension 1 hat, war dieser Schritt eigenltich richtig. Da aber $dim(L)=2$ ist, musst du nun [mm] $x_3=\mu, x_4=\lambda$ [/mm] setzen. Damit erhältst du mit gleichen Schritten, die du für eine Dimension durchgeführt hast, den Lösungsraum des GLS.
Liebe Grüße,
Hanno
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