Dimension, Aussage falsch? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Ist folgende Aussage richtig oder falsch?
Es existieren Teilräume V und W von [mm] \IR^4 [/mm] , sodass dim( V [mm] \cap [/mm] W) = 1 und dim(V)=3 = dim(W) |
Hallo
dim( V [mm] \cap [/mm] W) + dim(V+W) = dim(V) + dim(W)
1 + dim(V+W) = 9
dim(V+W)=8
Ich denke dim(V+W)=8 geht nicht? Aber ich kann das nicht gescheid begründen.. Bitte um hilfe.
LG,
quasimo
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moin,
> Ist folgende Aussage richtig oder falsch?
> Es existieren Teilräume V und W von [mm]\IR^4[/mm] , sodass dim( V
> [mm]\cap[/mm] W) = 1 und dim(V)=3 = dim(W)
>
> Hallo
>
> dim( V [mm]\cap[/mm] W) + dim(V+W) = dim(V) + dim(W)
> 1 + dim(V+W) = 9
Ich nehm an rechts meinst du 6 statt 9?
> dim(V+W)=8
Dann ist das hier eine 5.
> Ich denke dim(V+W)=8 geht nicht? Aber ich kann das nicht
> gescheid begründen.. Bitte um hilfe.
Überleg dir mal, von was $V+W$ ein Unterraum sein muss.
Und können Unterräume eine größere Dimension haben als die Räume, in denen sie enthalten sind?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 25.08.2012 | | Autor: | quasimo |
V+ W [mm] \subseteq \IR^4
[/mm]
d.h. dim(V+ W)<= [mm] dim(\IR^4)=4
[/mm]
Nun hab ich den widerspruch.
PasstS?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> V+ W [mm]\subseteq \IR^4[/mm]
> d.h. dim(V+ W)<= [mm]dim(\IR^4)=4[/mm]
>
> Nun hab ich den widerspruch.
> PasstS?
vielleicht räumen wir mal Deine Überlegungen auf:
Aufgabe war:
> Ist folgende Aussage richtig oder falsch?
> Es existieren Teilräume V und W von $ [mm] \IR^4 [/mm] $ , sodass dim( V $ [mm] \cap [/mm] $
> W) = 1 und dim(V)=3 = dim(W)
Es ist doch klar, dass [mm] $\dim(V \cap [/mm] W) [mm] \le \min \{\dim(V),\;\dim(W)\}\,,$ [/mm] also
gilt hier
[mm] $$\dim(V \cap [/mm] W) [mm] \le 3\,.$$
[/mm]
Die Forderung [mm] $\dim(V \cap W)=1\,$ [/mm] ist dazu erstmal schonmal nicht
widersprüchlich. Das wäre schonmal gut.
Aber: Zudem gilt die Dimensionsformel
[mm] $$\dim(V+W)+\dim(V \cap W)=\dim(V)+\dim(W)\,.$$
[/mm]
Wenn man nun [mm] $\dim(V)=\dim(W)=3$ [/mm] hat und [mm] $\dim(V \cap W)=1\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\dim(V+W)+1=3+3\,.$$
[/mm]
Dann müßte also [mm] $\dim(V+W)=\mathbf{\blue{5}}$ [/mm] sein. Aber weil [mm] $V+W\,$
[/mm]
ein Teilraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist, ist [mm] $\dim(V+W) \le 4\,.$ [/mm] Der Widerspruch, der
entsteht, ist etwa, dass daraus nun $5 [mm] \le [/mm] 4$ folgte!
Gruß,
Marcel
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