Dimension - Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Dimension der folgenden Untervektorräume des [mm] \IR^3 [/mm] durch Angabe einer Basis:
a) U:= [mm] \{(x_1 ,x_2 ,x_3)^T \in \IR^3 : 2x_1 +x_2 -x_3=0\} [/mm] |
Hallo liebe Leser.
Ich habe ein paar Fragen hauptsächlich zum Verständnis des Vorgangs, wie man diese Aufgabenart behandelt.
Einmal: da U ein UVR von [mm] \IR^3 [/mm] ist, ist seine Dimension maximal 3, richtig? Wie kann man sehen, welche Dimension gerade dieser UVR haben müsste?
Die Vektoren, die diesen Untervektorraum aufspannen, müssen jeweils [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] mit [mm] 2x_1 +x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] =0 erfüllen, richtig?
Dann, gibt es einen expliziten Lösungsweg für eine solche Aufgabe, oder löst man sowas durch "intelligentes" Raten?
Für eine Basis muss ja weiterhin gelten, dass die Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugenden-System bilden.
D.h. [mm] \summe_{i=1}^{n} \mu_i v_i [/mm] = 0 mit [mm] \mu \in \IK [/mm] und [mm] v_i [/mm] sind die Vektoren (lin. unabhängig)
sowie [mm] \summe_{i=1}^{n} \mu_i v_i [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}, [/mm] wobei n die Dimension beschreibt und x,y,z die typische Darstellung des [mm] \IR^3 [/mm] wäre (Erzeugenden-System)
Mit freundlichen Grüßen und der Hoffnung auf eine Antwort,
euer Roughi
PS: Für mich ist klar, dass ich sowas nicht machen würde, aber damit ich posten darf muss ich noch folgendes sagen: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo RoughNeck,
> Bestimme die Dimension der folgenden Untervektorräume des
> [mm]\IR^3[/mm] durch Angabe einer Basis:
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> a) U:= [mm]\{(x_1 ,x_2 ,x_3)^T \in \IR^3 : 2x_1 +x_2 -x_3=0\}[/mm]
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> Hallo liebe Leser.
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> Ich habe ein paar Fragen hauptsächlich zum Verständnis
> des Vorgangs, wie man diese Aufgabenart behandelt.
>
> Einmal: da U ein UVR von [mm]\IR^3[/mm] ist, ist seine Dimension
> maximal 3, richtig?
Jo!
> Wie kann man sehen, welche Dimension
> gerade dieser UVR haben müsste?
Das kannst du direkt sehen.
Es ist ja [mm]2x_1+x_2-x_3=0[/mm] die Gleichung einer Ebene im Raum, also [mm]\operatorname{dim}(U)=2[/mm]
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> Die Vektoren, die diesen Untervektorraum aufspannen,
> müssen jeweils [mm]\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3}[/mm] mit [mm]2x_1 +x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] =0 erfüllen, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann, gibt es einen expliziten Lösungsweg für eine solche
> Aufgabe, oder löst man sowas durch "intelligentes" Raten?
Du musst die Lösungsmenge des "Gleichungssystems" [mm]2x_1+x_2-x_3=0[/mm] bestimmen.
Das ist 1 Gleichung in 3 Unbekannten.
Damit sind 2 Variablen frei wählbar, wähle [mm]x_3=t, x_2=s[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm] und drücke [mm]x_1[/mm] in [mm]s,t[/mm] aus.
Damit bekommst du einen Spann für [mm]U[/mm] und ebenfalls eine Basis ...
>
>
> Für eine Basis muss ja weiterhin gelten, dass die Vektoren
> linear unabhängig sind und ein Erzeugenden-System bilden.
>
> D.h. [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu_i v_i[/mm] = 0 mit [mm]\mu \in \IK[/mm] und [mm]v_i[/mm]
> sind die Vektoren (lin. unabhängig)
> sowie [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu_i v_i[/mm] = [mm]\vektor{x \\
y \\
z},[/mm]
> wobei n die Dimension beschreibt und x,y,z die typische
> Darstellung des [mm]\IR^3[/mm] wäre (Erzeugenden-System)
Da der Spann aus 2 Vektoren besteht, die keine Vielfachen voneinander sind, sind sie linear unabh., also eine Basis ...
Das wirst du sehen, wenn es steht 
>
> Mit freundlichen Grüßen und der Hoffnung auf eine
> Antwort,
>
> euer Roughi
>
> PS: Für mich ist klar, dass ich sowas nicht machen würde,
> aber damit ich posten darf muss ich noch folgendes sagen:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Also wenn ich [mm] x_1 [/mm] durch s,t [mm] \in \IR [/mm] ausdrücke steht dann da
[mm] x_1 [/mm] = (t-s)/2
aber wieso ist das jetzt der Spann?
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Hallo nochmal,
> Also wenn ich [mm]x_1[/mm] durch s,t [mm]\in \IR[/mm] ausdrücke steht dann
> da
>
> [mm]x_1[/mm] = (t-s)/2
>
> aber wieso ist das jetzt der Spann?
Na, ein Vektor aus [mm]U[/mm] hat also die Form [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{\tfrac{t-s}{2}\\
s\\
t}=\vektor{-\tfrac{s}{2}\\
s\\
0}+\vektor{\tfrac{t}{2}\\
0\\
1}=s\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\
0\\
1}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Nimm etwa [mm]s=t=2[/mm], dann hast du [mm]\left\langle\vektor{-1\\
2\\
0},\vektor{1\\
0\\
2}\right\rangle[/mm] als Spann und Basis von [mm]U[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 25.11.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Ohje... Hätte man selber drauf kommen müssen. Ich danke dir vielmals.
Ist ja viel leichter als gedacht.
Liebe Grüße,
euer Roughi
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Die lineare Unabhängigkeit und die Eigenschaft des Erzeugenden-System muss man dann aber nicht mehr zeigen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die lineare Unabhängigkeit und die Eigenschaft des
> Erzeugenden-System muss man dann aber nicht mehr zeigen
> oder?
Ein Wort über die lin. Unabhängigkeit der Vektoren in
$ [mm] \left\langle\vektor{-1\\ 2\\ 0},\vektor{1\\ 0\\ 2}\right\rangle [/mm] $
solltest Du schon noch spendieren
FRED
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Hallo nochmal,
sorgfältiges Lesen erspart oft unnötige Rückfragen!
Ich hatte weiter oben schon geschrieben:
"[#000000]Da der Spann aus 2 Vektoren besteht, die keine Vielfachen voneinander sind, sind sie linear unabh., also eine Basis ..."
Das hatte ich nicht umsonst geschrieben ...
Oder offenbar doch ...
Gruß
schachuzipus
[/#000000]
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